15. Динамика аксиомалары

Динамика деп материялық денелердің, олардың инерциясын есепке алуымен күштер әсерінен пайда болатын қозғалысын қарастыратын теориялық механиканың бөлімін атайды. Инерция деп материялық дененің өзінің қозғалыс немесе тыныштық қалпын күштер түспеген кезде сақтап қалу қасиетін айтады. Ілгерілемелі қозғалыстағы дененің инерциясының өлшемі  болып табылатын  зат мөлшеріне тәуелді физикалық шама дененің массасы m деп аталады.

Нүкте динамикасы 4 аксиомаға негізделеді.

1-аксиома (инерция заңы): күштер түспейтін материялық нүкте (МН), оған күштер түсіп, қалпын өзгерткенге дейін тыныштықта немесе бірқалыпты түзу сызықты қозғалыста болады.  Күштер болмағандағы нүктенің қозғалысы инерциялық қозғалыс деп аталады. Инерция заңы орындалатын санақ жүйесі (СЖ) инерциялық СЖ деп аталады. Көптеген есептерде Жермен байланысқан СЖ инерциялық деп алынады.

2-аксиома (динамиканың негізгі заңы): МН-нің үдеуі оған түсетін күшке пропорционал және сол күшпен бағыттас. Динамиканың негізгі теңдеуі

.                                                        (5.1)

3-аксиома (әсер мен кері әсер заңы): екі МН бір-біріне модульдері тең және нүктелерді қосатын түзу бойымен қарама-қарсы бағытталған күштермен әсер етеді.

4-аксиома (күштер әсерінің тәуелсіздік заңы): әр күш бөлек түскенде МН алатын үдеулердің векторлық қосындысы барлық күштер біржолы түскенде алатын үдеуіне тең

(5.2)

(5.2) теңдеуінің орнына (5.1) теңдеуін, күші ретінде тең әсерлі күшті алып, қолдануға болады.

Ауырлық күш әсерінен денелер бірдей үдеуіне ие болады, ол ауырлық күш үдеуі немесе еркін түсу үдеуі деп аталады. Егер  МН-ге тек қанаауырлық күші түсетін болса, онда (5.1) бойынша

.                                                       (5.2)

Дененің массасы оның орналасуына және оған түсетін күштерге тәуелсіз, ал дененің салмағы дене орнының географикалық еніне және оның Жер орталығына дейінгі қашықтығына тәуелді еркін түсу үдеуінің өзгеруімен өзгеріп тұрады.

5.2 Материялық нүкте қозғалысының дифференциалдық теңдеулері

МН {} күштер жүйесінің әсерінен инерциалдық Оxyz санақ жүйесіне қатысты қозғалатын болсын, және күштер арасына байланыстардың реакциялары да кіреді деп есептейміз.

(5.2) теңдеуін декарт координат өстеріне проекциялап, декарт координаттарындағы қозғалысының дифференциалдық теңдеулерін (ҚДТ) аламыз

(5.3)

табиғи өстерге проекциялап, нүкте қозғалысының табиғи дифференциалдық теңдеулерін аламыз

(5.4)

ҚДТ нүкте динамикасының екі негізгі есебін шешу үшін қолданылады:

1-негізгі есеп: нүкте қозғалысы бойынша оған түсетін күшті анықтау. Мұнда МН қозғалысының теңдеулерін дифференциалдап, нәтижелерін (5.3) немесе (5.4) теңдеулеріне қою керек, содан нүктеге түсетін күш анықталады;

2-негізгі есеп: нүктеге түсетін күштер бойынша оның қозғалысын анықтау. Мұнда жалпы жағдайда (5.3) немесе (5.4) дифференциалдық теңдеулерінің екінші интегралдарын табу керек. Дербес жағдайларда ҚДТ айнамалыларды бөлу әдісінің көмегімен интегралдалуы мүмкін.   

16. Материялық нүктенің салыстырмалы қозғалысы

Динамика заңдары тек қана инерциалдық СЖ-нде орындалады. Материялық нүктенің кейбір СЖ-не қатысты қозғалысын қарастырайық және осы СЖ инерциалдық СЖ-не қатысты еркінше қозғалатын болсын. P  нүктесі {} күштер әсерінен қозғалатын болсын. Инерциалдық СЖ-нде динамиканың негізгі (5.2) теңдеуі орындалады. Нүктенің абсолют үдеуі (5.17) формуласымен табылады

(5.5)

(5.5) теңдігін (5.4) теңдігіне қойып, түрлендіреміз

(5.6)

Келесі белгілерді қабылдаймыз

(5.7)

және        (5.8)

және векторлары сәйкес тасымал және кориолис инерция күштері деп аталады.

(5.6) теңдігін келесі түрде жазуға болады

(5.9)

(5.9) теңдеуі МН-нің салыстырмалы қозғалысы динамикасының негізгі теңдеуі деп аталады. МН-нің салыстырмалы қозғалысының теңдеулері абсолют қозғалысының теңдеулері секілді, түсетін күштерге тасымал және кориолис инерция күштерін қосып, құрастырылады. Қозғалатын инерциалдық емес СЖ-нің бақылаушы тасымал және кориолис инерция күштерін шынайы әсер ететін күштер секілді қабылдайды. Бірақ ол дұрыс емес, өйткені инерциалдық емес СЖ үшін механиканың Ньютон заңдары орындалмайды, сондықтан құбылыстарды алдыңғы аксиомалар қолдануымен қарастыруға болмайды.

МН-нің салыстырмалы қозғалысы негізгі теңдеуінің дербес жағдайлары:

а) ілгерілемелі тасымал қозғалыс кезінде (5.10)

б) түзу сызықты бірқалыпты тасымал қозғалыс кезінде

(5.11)

Мұнда (5.11) мен (5.2) бірдей болады, өйткені . Сондықтан, бұл санақ жүйесі инерциалдық болады. Механикалық тәжірибелер арқылы санақ жүйесі тыныштықта екенін немесе ілгерілемелі бірқалыпты және түзу сызықты қозғалыста екенін анықтау мүмкін емес (Галилейдің салыстырмалылық принципі);

в) салыстырмалы тыныштық қалпында

(5.12)

Бұл МН-нің салыстырмалы тепе-теңдігінің теңдеуі.

5.4. Нүктенің  қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема

Динамиканың көптеген есептерін шешу кезінде ҚДТ-н интегралдаудың орнына динамиканың жалпы теоремаларын қолданған тиімділеу болады.

Нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теоремасын қарастырайық. МН-нің қозғалыс мөлшері деп нүктенің массасы мен оның жылдамдығының көбейтіндісіне тең шаманы айтады.векторы нүктенің траекториясына жанама бағытталады.

Күштің элементар импульсі деп күштің элементар уақыт аралығына көбейтіндісін атайды

(5.13)

Импульс күштің әсер ету сызығы бойымен бағытталады. күшінің шектіt₁ уақыт ішіндегі импульсі.            (5.14)

Импульстің модулі мен бағытын оның проекциялары арқылы табуға болады

. (5.15)

Динамиканың негізгі теңдеуін келесі түрде жазуға болады  (5.16)

Бұл дифференциалдық түрдегі нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теоремасы: нүктенің қозғалыс мөлшерінің уақыт бойынша туындысы нүктеге түсетін күштердің векторлық қосындысына тең.  Шекті түрдегі сол теорема: нүктенің қозғалыс мөлшерінің кейбір уақыт аралығында өзгеруі оған түсетін күштердің сол уақыт аралықтағы импульстерінің векторлық қосындысына тең

.                                (5.17)

Есептерді шешу кезінде әдетте теңдеулердің проекциялары қолданылады.

5.5 Нүктенің қозғалыс мөлшері моментінің өзгеруі туралы теорема

Нүктенің қозғалыс мөлшерінің кейбір О центріне қатысты моменті деп келесі теңдікпен анықталатын векторлық шамасын айтады

 (5.18)

мұндағы - қозғалыстағы нүктеніңО центрінен жүргізілген радиус-векторы.

Сонда векторыжәнеО центрі арқылы өтетін жазықтыққа перпендикуляр бағытталады, aл модулі .

Нүктенің қозғалыс мөлшерінің О центрінен өтетін  Оz өсіне қатысты моменті  векторының сол өске  проекциясына тең

(5.19)

мұндағы   -векторы менОz өсі арасындағы бұрыш.

Теорема: нүктенің қозғалыс мөлшерінің кейбір қозғалмайтын центрге қатысты алынған моментінің уақыт бойынша туындысы әсер ететін күштің сол центрге қатысты моментіне тең

(5.20)

Өске қатысты моменттер теоремасы

.            (5.21)

(5.20) теңдеуінен болса,болатыны шығады.