35.10.1 Жазық фигуралардың статикалық моменттері мен оның ауырлық центрі

Кейбір жазық фигураныx, y координат жүйесінде қарастырайық (10.1 сурет). Келесі интег-ралдар

         ,        

( 10.1)

фигураның сәйкес x және y өстеріне қатысты ста-тикалық моменттері деп аталады.

Координаттық өстерді параллель орын ауыс-тырса, қиманың статикалық моменттері қалай өзге-ретінін анықтайық (10.2 сурет). x₂ = x₁ - a; y₂ = y₁ – b болатыны анық.

 Сонда

,

.

         а мен b шамаларын, менстати-калық моменттері нөлге тең болатындай, таңдап алуға болады (тек бір ғана ретімен). Центрлік өс деп оған қатысты статикалық момент нөлге тең болатын өсті атайды. Центрлік өстерінің қиылысу нүктесі қиманың ауырлық центрі деп аталады.

(x₁, y₁) координат жүйесінде ауырлық центрінің координаттары осыған тең

,    .                                  (10.2)

Құрама қиманың статикалық моменті оны құраушы аймақтарының статикалық моменттерінің қосындысына тең екенін айтып өтейік.

10.2 Қиманың инерция моменттері

10.1 суретке қайта оралып, келесі үш интегралды қарастырайық

         ,                                              (10.3)

,                                               (10.4)

.                                           (10.5)

Алдыңғы екі интеграл қиманың сәйкес x және y өстеріне қатысты өстік инерция моменттері, ал үшіншісі  центрден тепкіш (немесе өрістік) инерция моменті деп аталады. Өстік инерция моменттері әрқашан оң шама, ал центр-ден тепкіш момент оң да, теріс та болуы мүмкін.

Координаттық өстерді параллель орын ауыстырса (10.2 сурет), инерция моменттері келесі формулаларға сәйкес өзгереді

,                                        (10.6)

,                                        (10.7)

.                      (10.8)

Егер x₁ мен y₁ - цен­трлік өстер болса, онда және

,                                            (10.9)

,                                           (10.10)

 .                                   (10.11)

Сонымен, өсті параллель орын ауыстырғанда, олардың біреуі центрлік өс болса, өстік инерция моменті ауданның өстер арақашықтығының квадратына көбейтінсіне тең шамаға өзгереді. Сонда параллель өстер жиыны үшін центрлік өске қатысты инерция моменті минималды мәніне ие болады.  .

     Құрама қиманың инерция моменті оны құраушы аймақтарының инерция моменттерінің қосындысына тең екенін айтып өтейік.

10.3 Бас инерция өстері мен бас инерция моменттері

x пен y координаттық өстерін  u мен v орнына келтіріп бұрғанда, жазық қиманың инерция моменттері қалай өзгертінін қарастырайық. 10.4 суреттен келесіні анықтай аламыз

u = y∙ sin  + x ∙ cos ;     v = y∙  cos   x∙  sin  .                   (10.13)

Осы өрнектерді

,                ,

ескерілуімен түрлендіріп,  келесіге келеміз

,      (10.14)

,      (10.15)

.               (10.16)

Алдыңғы екі теңдеуді қосып, келесіні аламыз

(10.17)                  

Сонымен, өзара перпендикуляр өстерге қатысты өстік инерция моменттерінің қосындысы өстер бұрылғанда тұрақты болып қалады және жазық фигураның полюстік инерция моментіне тең.

(10.17) қолдануымен дөңгелек қиманың диаметріне қатысты өстік инерция моментін анықтауға болады. Симметрия себебінен , сонда

 (10.18)

  бұрышы өзгеруімен жәнеөзгереді, ал олардың қосындысы тұрақты болады, сондықтан олардың біреуіннемесе, өзінің максимал-ды мәніне, екіншісін минималды мәніне ие болдыратын  бұрыштың =₀ мәнін табуға болады. ₀  табу үшін немесеэкстремумге зерттейміз. Сонда келесі табылады

.                                         (10.19)

=₀  болғанда біржолы центрден тепкіш инерция моменті нөлге тең болатынын көрсетуге болады. Егер өстерге қатысты центрден тепкіш инерция моменті нөлге тең, ал өстік инерция моменттері экстремалды мәндерін алатын болса, онда сол өстер бас инерция өстері деп аталады. Бас инерция өстеріне қатысты өстік инерция моменттері бас инерция моменттері деп аталады. Олар (10.14), (10.15) және (10.19) қолдануымен келесідей табылады

         .                      (10.20)

Жазық фигураның  кез келген l өсіне қатысты инерция радиусы деп келесі формуламен анықталатын шаманы атайды               

.                                                (10.21)