Теория экономического анализа

Глава 4. Методы экономического анализа

шу населения, среднее потребление продуктов питания на душу населения, производительность труда).

Если исследуемое явление не является однородным, то его разбивают на группы, содержащие только однородные элементы. Для такого явления рассчитываются сначала сред- нее по группам, которые называются групповые средние, – они будут выражать наиболее типичную величину явления в каждой группе. Затем рассчитывается для всех элементов об- щая средняя величина, характеризующая явление в целом, – она рассчитывается как средняя из групповых средних, взве- шенных по числу элементов совокупности, включенных в ка- ждую группу.

Определение максимального и минимального значения признака в изучаемой совокупности также служит условием применения средней величины в анализе. В случае больших отклонений между крайними значениями и средней, необхо- димо проверить принадлежность экстремумов к исследуемой совокупности. Если сильная изменчивость признака вызвана случайными, кратковременными факторами, то, возможно, крайние значения не характерны для совокупности. Следова- тельно, их следует исключить из анализа, так как они оказы- вают влияние на размер средней величины.

В статистике выделяют следующие виды средних вели-

чин.

по наличию признака-веса:

а) средняя арифметическая простая;

б) взвешенная средняя величина.

Если имеются сведения о влиянии некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного расчета средней величины, то рас- считывается средняя взвешенная;

по форме расчета:

а) средняя арифметическая величина; б) средняя гармоническая величина; в) средняя геометрическая величина;

г) средняя квадратическая, кубическая и т.д. величина;

41

Теория экономического анализа

Средняя арифметическая простая (незвешанная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.

Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают через x (x1, x2, x3, … xn); число единиц совокупно- сти обозначают через n, среднее значение признака –х. Следо- вательно, средняя арифметическая простая равна:

х= х х х ...х = ∑

Средняя арифметическая величина – это такое среднее значение признака при вычислении, которого общий объем признака в совокупности равномерно распределяется между всеми ее единицами. Например, предположим, что на пред- приятии работает n работников, причем размеры заработной платы любых двух работников не совпадают. Для этой сово- купности можно рассчитать размер заработной платы в сред- нем, т.е. такое ее значение, которое приходилось бы на одного работника, если бы весь фонд заработной платы (в данном случае это и есть общий объем признака) предприятия рас- пределялся между всеми сотрудниками поровну.

Простая средняя арифметическая применяется в случа- ях, когда имеются отдельные значения признака, т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены в виде рядов распределения или группировок, то средняя исчисляется иначе.

Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по фор-

муле

∑

∑ ,

где fi – частота повторения i-х вариантов признака, называе- мая весом.

Таким образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме взвешенных вариантов признака, деленная на

Глава 4. Методы экономического анализа

В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин.

Наиболее простой и распространенной является средняя арифметическая.

Средняя арифметическая имеет ряд следующих свойств,

знание которых упрощает ее вычисление:

средняя арифметическая сумма варьирующих величин равна сумме средних арифметических величин:

∑ ∑

.

Например, выпускаемое изделие x состоит из двух дета- лей y и z, на изготовление каждой расходуется в среднем = 3 ч, = 5 ч, отсюда продолжительность изготовления данного изделие будет равна 8 ч;

алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений варьирующего признака от средней равна ну- лю, так как сумма отклонений в одну сторону погашает- ся суммой отклонений в другую сторону:

0.

Это правило показывает, что средняя является равнодей- ствующей;

если все варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же число, то средняя уменьшится или увели- чится на это же число;

если все варианты ряда уменьшить или увеличить в не- сколько раз, то средняя также уменьшится или увели- чится во столько же раз.

если все частоты ряда разделить или умножить на одно и то же число, то средняя не изменится. Это свойство по- казывает, что средняя зависит не от размера весов, а от

соотношения между ними.

Одновременное применение различных свойств средней арифметической заметно упрощает ее расчет.

Например (табл. 4.1).

43

Теория экономического анализа

Для упрощения расчетов все варианты ряда х уменьшим на 40, а затем еще уменьшим в 5 раз. Зная, что величина сред- ней не изменится, если все частоты ряда уменьшить или уве- личить в несколько раз, сократим частоты в 20 раз. Получим после этого среднюю величину:

d

Чтобы по этой средней исчислить среднюю первона-

чального ряда, необходимо умножить ее на 5 и к полученному результату прибавить 40:

–0,08 · 5+40 = 39,6 деталей.

В качестве постоянного числа а (см. табл. 4.1) следует брать значение признака, расположенного в середине ряда или имеющего наибольшую частоту, в качестве постоянного числа А – величину интервала между признаками.

Существуют также и другие виды средних величин;

средняя гармоническая тождественна средней арифме-

дение χ ƒ = z. Для определения средней гармонической

44

Глава 4. Методы экономического анализа

необходимо иметь ряд вариантов и частот, т.е. значения χ и ƒ. В некоторых случаях известны индивидуальные значения признака χ и произведения χƒ, а частоты ƒ не- известны. Чтобы исчислить среднюю, обозначим произ-

ведение χ ƒ = z, откуда ƒ = . Теперь преобразуем форму-

лу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся данным χ и z исчислять среднюю. Подста- вим в формулу средней арифметической вместо χƒ = z и

ской и обозначается хгарм..

Пример 4.1.

Имеются данные, приведенные в табл. 4.2. Определите хгарм..

шенной, если в качестве весов примем площадь каждого хозяйства

18,2·200 20,4·150 23,5·100 20,1 ц/га. 200 150 100

Ответ: 20,1 ц/га.

45

Теория экономического анализа

В тех случаях, когда произведения хƒ одинаковы или равны единице (z =1), применяется средняя гармоническая

Например, в бригаде работают три человека, которые производят одни и те же детали. При этом первый рабочий

цу времени. Например, такой (табл. 4.3).

Таблица 4.3

Выпуск продукции завода за 2002–2005 гг.

Приведенные в таблице коэффициенты роста выпуска продукции получены путем деления показателей выпуска ка- ждого данного года на показатель предыдущего. Необходимо

46

Теория экономического анализа

50,1. Таким образом, применение средней геометрической оп- ределяющее свойство средней не нарушает.

Следовательно, если имеется n коэффициентов роста, то формула среднего коэффициента роста будет иметь вид:

n К ·К ·К …Кn.

Это и есть формула средней геометрической.

Средний коэффициент роста можно определить и по данным последнего и первого уровней ряда. Если первый уровень ряда обозначить у1, а последний – yn, то

· · … ,

где n – количество дат, а не коэффициентов.

Приведенные формулы идентичны, но первая применя- ется в тех случаях, когда имеются текущие коэффициенты или темы роста, а вторая – когда имеются абсолютные значе- ния начального и конечного уровней ряда;

средняя квадратическая. В тех случаях, когда необходи- мо найти среднее значение величин, выраженных в виде квадратных функций, применяется средняя квадратиче- ская. Например, средние диаметры колес, труб, стволов, средние стороны квадратов помощью средней квадра- тической.

Средняя квадратическая простая исчисляется путем из- влечения квадратного корня из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их количество:

∑ .

Средняя квадратическая взвешенная равна:

∑

∑ ,

где ƒ – веса.

48

Глава 4. Методы экономического анализа

Например, имеется пять квадратов со сторонами A1 =

2 м, A2 = 5 м, A3 = 6 м, A4 = 8 м, A5 = 9 м. Определим среднюю сторону квадратов:

степенные средние. Подводя итоги, можно рассмотрен- ные выше средние величины представить в виде форму-

лы степенной средней вида, ∑

где – средняя величина, x – индивидуальные значения признака, n – количество единиц изучаемой совокупно- сти, k – показатель степени средней.

Придавая показателю степени средней k различные це-

k = 2 – среднюю квадратическую:

кв ∑ .

При расчете различных степенных средних по одним и тем же данным статистического наблюдения средние не будут одинаковы. Чем выше степень k средней, тем больше ее зна- чение. Математически доказано, что между значениями сте- пенных средних, рассчитанных по одной и той же совокупно- сти единиц статического наблюдения и одному и тому же признаку, существует следующее соотношение:

гарм геом ар кв .

49

Теория экономического анализа

Принципы выбора формы средней. При вычислении стати-

стических средних величин всякий раз возникает вопрос: ка- кую из ныне известных науке форм средней следует приме- нить в данном конкретном случае для получения адекватной оценки уровня изучаемого массового социально-экономиче- ского явления.

Споры о правильном вычислении средних величин ухо- дят в глубь веков. В своей работе К. Джини [20] приводит пример о разногласиях по этому вопросу между Галилеем и Наццолино около 1627 г. Их можно схематично передать так. Имеется лошадь, действительная цена которой 100 скудо. Приглашаются порознь два оценщика, которые оценили ее так: первый в 10 скудо, второй в 1 000 скудо (компетентность оценщиков не обсуждается). Спрашивается, какова средняя оценочная стоимость лошади, как, по какой форме средней ее следует найти? Наццолино считал, что нужно применить среднюю арифметическую. Она, естественно, равна (10 + 1000) : 2 = 505 скудо, но ничего общего с действительной стоимо- стью лошади не имеет. Галилей предпочитал среднюю гео-

метрическую: √10·1000 100скудо. Полнейшее совпадение с действительностью.

Безусловно, это всего лишь пример. Вычисление средних из столь различных величин в социально-экономической ста- тистике не имеет смысла.

Чем же нужно руководствоваться при выборе формы средней?

В статистической литературе есть несколько рекоменда- ций относительно выбора формы средней. Предлагается, на- пример, пользоваться принципом определяющей функции, принципом определяющего показателя. Суть этих принци- пов, которые по смыслу близки, в самом общем виде заключа- ется в следующем:

в первом случае замена вариантов усредняемого призна- ка (с учетом их весов в случае взвешенных средних) не должна нарушить равенства обеих частей определяю- щей функции;

50