Теория экономического анализа

Глава 4. Методы экономического анализа

Поскольку план выпуска должен строиться, исходя из всех пяти ограничений задачи, то областью допустимых ре- шений будет в данной случае закрашенный многоугольник.

Максимальное значение целевой функции, найденное в предыдущих расчетах будет соответствовать точкам прямой:

Многоугольник ограничивает область допустимых ре- шений задачи из массы решений нужно выбрать такое, где

Решая систему, получаем: X1 = 50 и X2 = 15, отсюда при-

Рис. 4.1. Симплексный метод

131

Теория экономического анализа

Если прямая, отвечающая целевой функции (в графиче- ском методе) проходит через вершину многоугольника, то за- дача имеет единственный оптимальный вариант. Если совпа- дает со стороной многоугольника, то задача имеет множество решений.

Оптимальное решение должно проходить либо через вершину, либо через сторону многоугольника. Поэтому одна из вершин отвечает оптимальному решению, но неизвестна вначале какая.

Графический метод прост и нагляден, но применение его ограничено.

При трех переменных пришлось бы строить многогран- ник в многомерной системе координат. При четырех и более переменных графическое изображение невозможно. Но мож- но представить многомерное пространство абстрактно. Если условие задачи непротиворечиво, то область допустимых зна- чений (ОДЗ) образует выпуклый многоугольник в n-мерном пространстве.

При этом оптимальное решение, если оно существует, обязательно достигается в некоторой вершине многогранника (возможно и более чем в одной).

Таким образом, найти решение задач линейного про- граммирования достаточно перебрать варианты, соответст- вующие вершинам многогранника. Они называются опор- ными планами. Однако в сложных задачах их может оказать- ся чрезмерно много и определение опорных планов потребует огромного объема вычислений.

Симплексный метод позволяет осуществить упорядочен- ный перебор вершин многогранника, например, возможна та- кая последовательность расчетов по симплексному методу.

Предприятие располагает тремя группами оборудова- ния, на котором изготовляется четыре ассортимента продук- ции (А, Б, В, Г). Все изделия имеют неограниченный сбыт и, следовательно, предприятие может планировать ассорти- ментную программу в пределах данной номенклатуры (табл. 4.13).

132

Глава 4. Методы экономического анализа

Имеются следующие ограничения:

наличие основного оборудования;

нормы времени на обработку каждого вида изделия на оборудовании каждой группы;

размер прибыли, полученная предприятием за единицу определенного вида изделий.

Требуется получить максимальную прибыль.

Искомый выпуск: X1 – А; X2 – Б; X3 – В; X4 – Г. Max 0,4x1 + 0,2x2 + 0,5x3 + 0,8x4

x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4<= 24 000 3x1 + 5x2 + x3 <= 12 000

6x1 + 3x3 + x4<= 30 000

Для решения задачи симплексным методом все неравен- ства превращаем в равенства. Для этого вводим в задачу три дополнительные неотрицательные переменные величины: X5, X6, X7 и прибавим их к левым частям неравенств.

x1 + 2x2 + 4x3 + 8x4+ х5 = 24 000 3x1 + 5x2 + x3 + х6 = 12 000

6x1 + 3x3 + x4 + х7 = 30 000

По своему экономическому смыслу дополнительные пе- ременные есть ни что иное, как неиспользованное время ра- боты определенного оборудования. Для решения задач сим- плексным методом составляются специальные симплексные таблицы (табл. 4.14).

133

Теория экономического анализа

Таблица 4.14

Симплексная таблица

Всамой верхней строке записаны коэффициенты целе- вой функции. Дополнительным переменным соответствуют нулевые коэффициенты. Неиспользованное оборудование не приносит прибыль. Те же нулевые в столбце C против каждой дополнительной переменной.

Взаполнении строки Zj–Cj имеются свои особенности. Рассматривается Zj для каждого столбца. Она получается как сумма произведений величин столбца С на соответствующие коэффициенты столбца j. Поскольку в первоначальном вари-

анте в столбце С находятся 0, то величина Zj для всех столбцов равна 0, а величина Zj–Cj = –Cj. Поэтому в начальном варианте здесь поставлены коэффициенты целевой функции с обрат-

134

Глава 4. Методы экономического анализа

ным знаком. Все основные переменные приравнены к 0 и не входят в базис нашей задачи. Дополнительные переменные равны предельным значениям в соответствии с исходными уравнениями. Это означает, что ничего не производится, ре- сурсы не используются и значение целевой функции равно 0 (прибыль отсутствует).

Решение задачи заключается в последовательном введе- нии в план основных переменных, пока не будет получено оптимальное решение. При этом на каждом этапе расчета можно ввести лишь одну переменную, при этом другая пере- менная выводится из базы, так как при трех ограничениях в базисе не может быть больше трех переменных.

Поскольку задача решается на максимум прибыли на- чинать надо с наиболее прибыльного изделия. В нашем слу- чае это Г. В базис вводится X4. Определим, в каком количестве может быть предусмотрен выпуск изделия Г. Это зависит от объема ресурсов и нормативов затрат. На оборудование пер- вой группы можно обработать 3 000 изделий (24 000/8 000), вторая группа в изготовлении Г не участвует, а третья может быть использована на обработку 30 000 изделий. Принимаем наименьшее среди них: 3 000 изделий, в таблице в колонку «базис» X4 ставится на место X5 (оборудование первой группы равняется нулю, так как использовано полностью). Число 8 на пересечении X4 и X5 называется направляющим элементом или генеральным, ключевым, разрешающим.

Строка X4 в новой таблице получается путем деления строки выводящей переменной X5 предыдущей таблицы на направляющий элемент. В столбце С проставляется 0,8 – при- быль за единицу изделия Г. После этого пересчитывается столбец «план». На оборудовании II группы изделие Г не об- рабатывается и в новом варианте фонд его времени остается без изменений 12000 мин.

Фонд времени оборудования III группы уменьшится. На каждое изделие 1 мин 3 000 шт. = 3 000 мин, следовательно остаются неиспользованными 27 000 мин. Следующее число

«план» – 2 400 (0,8 3 000 = 2 400 руб.) – прибыль при данном

135

Теория экономического анализа

варианте. После столбца «план» пересчитываются все осталь- ные столбцы симплексной таблицы, кроме строки вводимой переменной. При этом, следует иметь в виду, что в столбцах всех переменных, входящих в базис, на пересечении одно- именных строк и столбцов всегда находится единица, а ос- тальные элементы столбца равны нулю.

Поэтому сразу можно заполнить столбцы X4, X6 и X7. Пе- ресчет целесообразно проводить по «правилу треугольника». Для того, чтобы рассчитать в новом варианте какой-либо ко- эффициент, нужно в симплексной таблице найти три числа:

стоящее на месте этого коэффициента в предыдущем варианте;

стоящее в той же строке предыдущего варианта, но в столбце вводимой переменной;

находящееся в новом варианте в одном столбце с иско- мым коэффициентом, но в строке вновь введенной перемен- ной. (Элементы этой строки ранее уже были рассчитаны.)

Указанные три числа в таблице образуют прямоуголь- ный треугольник, Для определения искомого коэффициента из числа, находящегося в вершине прямого угла необходимо вычесть произведение двух других углов.

Например, для столбца X1 (рис. 4.2) 3 0

1/8

Рис. 4.2. Треугольник для столбца Х1

Производим вычисление: для коэффициента по строке

Х6 : 3–(0 · 1/8) = 3 (рис. 4.3);

136

1/8

Рис. 4.3. Треугольник для строки Х6

для коэффициента строки Х7 : 6 – (1/8 · 1) = 47/8

Показатель для строки Zj–Cj можно рассчитать двумя способами:

а) по формуле Zj–Cj = 0,8 · 1/8 – 0,4 = –0,3;

б) по правилу «треугольника» (рис. 4.4)

1/8

Рис. 4.4. Треугольник для строки Zj–Cj

–0,4 – (–0,8 · 1/8) = –0,3

Аналогично проводим расчеты и для других столбцов нового варианта симплексной таблицы.

Теперь необходимо выяснить является ли второй вари- ант оптимальным или он может быть улучшен. Для этого просматривается строка Zj–Cj. Если она содержит отрицатель- ные числа, то вариант может быть улучшен.

На 0,3 руб. улучшится общая прибыль при введении в

базис числа X1 (изделие А) и на 0,1руб. при введении числа X3 (изделие В) в расчете на каждую вводимую единицу изделий. Эти цифры могут быть показаться противоречащими исход- ным данным: согласно которым изделие А приносит 0,4 руб. прибыли, В – 0,5 руб. Но дело в том, что на данном этапе зада-

137

Теория экономического анализа

чи введение в план этих изделий вытеснит известное количе- ство ранее введенных изделий Г, чтобы для их производства высвободить оборудование I группы.

На следующем этапе целесообразнее ввести X1 (изделие А), так как ей соответствует наибольшее по абсолютной вели- чине отрицательное число. Аналогично предыдущему вари- анту установим сколько единиц изделий А может быть вклю- чено в план с учетом того, что он уже содержит выпуск изде- лий Г. Для этого числа из столбца «план» делим на соответст- вующие (только положительные) коэффициенты из столбца вводимой переменной X1 и из полученных частных выбираем

быть введено не более 4 000 изделий А, так лимитирующим фактором является оборудование II группы. Следовательно переменная Х1 заменит в базисе переменную Х6.

На пересечении столбца X1 и строки X6 находим и под- черкиваем направляющий элемент – 3. Далее рассчитываем строку введенной переменной путем деления элементов стро- ки X6 предыдущего варианта на направляющий элемент. За- тем рассчитываем столбец «план» (рис. 4.5):

Прибыль при новом варианте: 2 500 · 0,8 + 4 000 · 0,4 = 3 600 руб.

По описанному правилу заполняем следующие столбцы. Просматривая строку Zj–Cj видим, что в ней содержатся толь- ко нули и положительные элементы, что означает, что вари- ант 3 является оптимальным решением и не может быть

138

Глава 4. Методы экономического анализа

улучшен. В него входят лишь два вида изделий из четырех. Переменная X3 соответствует в последней строке 0. Это озна- чает, что введение в план на последующем шаге X3 не увели- чит прибыль, но и не уменьшит ее и полученный результат также будет оптимальным. Разделив числа столбца «план» на коэффициенты столбца X3 и выбрав из полученных мини- мальное, определяем, что данная переменная должна вво- диться в базис на место переменной X4. В результате после- дующих преобразований получим новый оптимальный план, в котором предусматривается выпуск изделий А (X1) = 2 182

шт. и В (X3) = 5 455 шт.

первой программы 80%,

второй 20%, то получим: (2 500 Г + 4 000 А) · 0,80 + (2182 А + 5455 В) · 0,2 = 3 636 А + 1 091 В + 2 000 Г.

Все эти варианты так же обеспечивают прибыль в разме- ре 3 600 руб.

Наличие нескольких практически равных эффективных планов позволяет определить ряд промежуточных вариантов, что в экономических задачах дает дополнительные возможно- сти для анализа и качественного отбора наиболее приемле- мых из них.

При решении задач симплекс-методом могут встретить- ся случаи «вырождения». При m ограничениях невырожден- ный план всегда содержит m положительных переменных, а остальные n-m переменных задачи в базис не входят и равня- ются нулю.

Однако возможно равенство нулю и одной или несколь- ких переменных из входящих в базис, т.е. наличие одного или несколько нулей в столбце «план» симплексной таблицы. Та- кой план и называется вырожденным. При вырожденном

139

Теория экономического анализа

плане наличие отрицательных чисел в строке Zj–Cj не означа- ет, что следующий вариант обеспечит увеличение значения целевой функции. Оно может остаться неизмененным, при- чем на протяжении не только одного, но и нескольких после- довательных шагов. Так происходит зацикливание, которое препятствует дальнейшим расчетам и может быть преодолено лишь с помощью специальных приемов.

Внастоящее время решение задач оптимизации возмож- но, используя ПЭВМ в системе электронных таблиц «Microsoft Excel».

Вотличие от универсального симплекс-метода транс- портная задача относится к специальным методам, применяе- мым для решения задач линейного программирования. При решении транспортных задач применяется распределитель- ный метод и его модификации.

Сущность транспортной задачи заключается в распре- делении однородного груза в несколько пунктов назначения из различных мест отправки, при этом безразлично какой именно отправитель будет посылать груз тому или иному по- лучателю, но при этом необходимо обеспечить минимальный общий пробег груза или минимальные затраты на транспор- тирование.

Особенности постановки и решения задачи видны из следующего примера. Предположим, что в пределах одного населенного пункта имеется три склада, где хранится один и тот же товар, который необходимо перевести в три магазина. При этом емкость каждого склада и потребность в товаре у каждого магазина неодинаковая. Кроме этого известны рас- стояния между соответствующими магазинами и складами. В задаче требуется составить такой план перевозок данного то- вара, чтобы обеспечить наименьший общий пробег грузов в тонно-километрах. Представим исходные данные в виде таб- лицы (табл. 4.15). В каждой клетки на пересечении соответст- вующего склада и магазина в правом верхнем углу проставим расстояние между ним, а также возможности складов и по- требности магазинов.

140