Теория экономического анализа

Глава 4. Методы экономического анализа

2 5

8

10

1 3 6

9

4

7

Рис. 4.16. Сетевой график

После построения графика следует этап его упорядочи- вания, которое заключается в таком расположении событий и работ, при котором все работы-стрелки направлены только слева направо. Упорядочение происходит по принципу «слоеного пирога»:

поместим в первый слой начальное событие 1, мысленно вычеркнем его на графике и выходящие из него стрелки. То- гда без входящих стрелок останутся события 2 и 3. Они обра- зуют второй слой. Вычеркнув мысленно события 2 и 3, мы об- наружим, что без входящих стрелок остается 4, которое обра- зует, таким образом, третий слой. Продолжая процедуру вы- черкивания, получим 4-й слой с событиями 5 и 6; 5-й с собы- тием 7; 6-й с событиями 8 и 9; 7-й с событием 10.

Упорядоченный график отражает последовательность событий и работ более четко и наглядно (рис. 4.17).

151

Глава 4. Методы экономического анализа

Рис. 4.18. Сетевой график с указанием времени

Процесс нахождения возможных путей напоминает ре- шение задач динамического программирования. Общий принцип оптимальности этого метода позволяет утверждать, что поэтапно найденная нами цепочка работ, определившая срок наступления конечного события, действительно является наиболее протяженным путем среди всех возможных путей данного сетевого графика. Последовательность работ между начальным и конечным событием сети, имеющая наиболь- шую общую протяженность во времени называют критиче- ским путем. Критическими называют также события и рабо- ты, расположенные на этом пути. Критический путь является центральным понятием сетевого планирования и управления. Общая продолжительность всего планируемого комплекса работ определяется только работами, лежащими на критиче- ском пути, и увеличение времени работы на критическом пу- ти ведет к отсрочке завершения всего комплекса работ, а за- держка с некритическими работами может никак не отразить- ся на сроке наступления конечного события. Отсюда следуют важный практический вывод:

Руководители разработки должны в первую очередь уделять внимание своевременному выполненных критиче- ских работ, обеспечению их необходимыми трудовыми и ма-

153

Теория экономического анализа

териальными ресурсами. Если учесть, что в реальных сетевых графиках критические работы составляют лишь 10–15% обще- го количества работ, ясно, каким ценным орудием управле- ния служит метод критического пути в руках руководителя сложных разработок.

Сетевой график может содержать не один, а несколько критических путей. Некритические события, не влияют на срок наступления конечного события, и для них, кроме ожи- даемых сроков наступления, имеются наиболее поздние до- пустимые сроки наступления и имеются известные резервы времени для их выполнения.

Например, работа 4–7 вместо 4 дней может продолжать- ся 19 дней (30–11), т.е. на 15 (19–4) дней больше. Эти 15 дней составляют свободный резерв времени. А если взять работу 6-9, то событие 9 может закончиться либо на 36 (30+6), либо на 40 (51–11) день. Следовательно, свободный резерв времени для данной работы составит 8 (36–21–7)дней, а максимальное до- пустимое время выполнения этой работы составляет 19 дней (40–21), отсюда резерв – 12 дней. При этом сроки выполнения всего проекта не нарушатся. Итак, наряду со свободным ре- зервом времени, равным 8 дням, работа 6–9 имеет полный ре- зерв времени – 12 дней.

Работа 7–9 свободного времени не имеет, а полный ре- зерв составит 4 дня (40–6–30=4). Полные резервы времени, от- личные от свободных резервов, имеют также работы 1–2 (28– 10=18 дней), 2–5 (37–10–9= 18 дней), 4–5 (37–11=23 дня). Отли-

чие полных резервов времени от свободных резервов состоит в том, что свободные резервы можно отсрочить или увеличить время выполнения по всем работам сети одновременно, тогда все работы становятся критическими, но сроки наступления событий не изменяются. Полные резервы времени использо- вать одновременно не всегда возможно. Например, полные резервы времени работ 1–2 и 2–5 составляют 18 дней, и любой из них можно использовать, но не оба вместе, иначе общая продолжительность этих работ с учетом полных резервов со- ставит: 10+18+9+18=55 дней и событие 5 наступит на 18 дней

154

Глава 4. Методы экономического анализа

позже наиболее допустимого срока (55–37). Определение ре- зервов времени событий и работ сетевого графика имеет большое значение, как для этапа разработки и корректиров- ки, так и в ходе выполнения проекта:

во-первых, в проекте могут оказаться «узкие места». С точки зрения обеспечения трудовыми или материаль- ными ресурсами одновременно ведущихся работ;

во-вторых, в первоначально составленном графике об- щая продолжительность работ может оказаться выше директивно установленного срока. Чтобы уложиться в этот срок, нужно сократить длительность некоторых ра- бот критического пути. Обычно это возможно при усло- вии привлечения на эти работы дополнительные ресур- сы, а их можно высвободить за счет удлинения продол- жительности работ на некритическом пути, причем вы- численные резервы времени покажут, до какого предела такое удлинение возможно. (Нужно, однако, учитывать, что при увеличении продолжительности некритических работ критический путь может измениться);

в-третьих, уже в процессе осуществления проекта часто возникают отклонения от намеченных сроков выполне- ния работ и наступления событий. По некритическим работам и событиям фактическое запаздывание против графика может никак не отразиться на сроках выполне-

ния всего проекта, если запаздывание находится в пре- делах резерва времени.

Сетевые графики, составленные для практических це- лей, имеют обычно сотни, а нередко и тысячи событий и ра- бот, которые более сложные для анализа, так, как в них коли- чество работ намного превышает количество событий. Отно- шение количества работ к количеству событий графика счи-

тается показателем (коэффициентом) сложности сети.

Сложные сети обрабатываются на компьютерах.

Следует отметить, что наряду с составлением графиков, состоящих из работ и событий, применяется и другой прин- цип построения сетей, без событий. В таких сетях кружок изо-

155

Теория экономического анализа

бражает определенную работу, а стрелка – связь, зависимость работ в соответствии с их технологической последовательно- стью. Сетевой график «работы-связи» в отличие от графика «события-работы» обладает известными преимуществами: не содержит фиктивных работ, имеет более простую технику по- строения и перестройки (введение новых работ, изменение связей), включает только хорошо знакомое исполнителям по- нятие работы без привычного понятия события. Вместе с тем, сеть без событий получается более громоздкой, т.к. событий обычно меньше, чем работ. График «события-работы» обес- печивает экономию электронной памяти, что является ре- шающим аргументом в пользу этого способа.

Сетевое планирование в условиях неопределенности. В

предыдущем примере время выполнения каждой работы бы- ло точно известно, т.е., детерминировано, но в действительно- сти это бывает довольно редко, поскольку основное направле- ние использования сетевых методов – это планирование сложных разработок, зачастую не имевших в прошлом ника- ких аналогий, поэтому, продолжительность выполнения ра- боты является неопределенной, в математическом понимании

– случайной величиной. Если известен закон распределения случайной величины, то нетрудно найти две ее важнейшими характеристики: среднее значение (математическое ожида- ние) и дисперсию.

Однако применительно к работам сетевого графика уве- ренно судить о законе распределения времени, определенных работ обычно не удается. Практика сетевого планирования выработала для анализа сетевого графика со случайными длительностями работ определенную общую методику, кото- рая рациональна и удобна, но с точки зрения строгой теории не во всем безупречна.

Основные положения этой методики.

По каждой работе i-j, точную продолжительность кото- рой установить нельзя, определяются на основании опроса исполнителей и экспертов три временные оценки:

156

Глава 4. Методы экономического анализа

1)оценка aij min времени, за которую может быть вы- полнена работа при самом благоприятном стечении обстоятельств (ее называют оптимистической оцен- кой);

2)оценка bij max времени, которое потребуется на вы- полнение работы при самых неблагоприятных усло- виях (пессимистическая оценка);

3)оценка mij наиболее вероятного времени выполнения работы при нормальных условиях.

Эти три оценки являются основой для расчета средней ожидаемой продолжительности работы и ее дисперсии. При этом используется гипотеза об определенном законе распреде- ления длительностей работ (так называемое β-распределение).

Эмпирически найдены формулы определения для каж- дой работы средней ожидаемой продолжительности и дис-

6 .

Далее процесс расчета не отличается от соответствую- щих расчетов в детерминированном случае. При суждении о временных характеристиках событиях сетевое планирование опирается на центральную предельную теорему теории веро- ятности. Данная теорема утверждает, что сумма большого числа независимых случайных величин (в данном случае дли- тельностей работ) при некоторых общих условиях имеет нор- мальное распределение со средним значением, равным сумме средних значений этих величин и дисперсией, равной сумме их дисперсий. Тогда можно считать, что сроки наступления событий, достаточно удаленных от начального события, име- ют распределение со средним сроком и дисперсией, опреде- ляемых по известным формулам. (Правда, это утверждение предполагает о независимости случайных длительностей ра- бот, что не всегда справедливо для конкретных проектов.)

157

Теория экономического анализа

Например, имеется сетевой график, где продолжитель- ность каждой работы четко неопределенна, но имеются (см. табл. 4.19), временные характеристики для каждой работы, рассчитанные по приведенных формулам.

После того, как найдены продолжительности каждой работы, определяем по критическому пути время окончания всего комплекса работ (рис. 4.19).

16

4,83

11,17

3

Рис. 4.19. Критический путь сетевого графика

158

Глава 4. Методы экономического анализа

Средний срок завершения всех работ tk = 18,83, который равен сумме продолжительности работ, стоящих на критиче- ском пути. Его дисперсия будет равна сумме дисперсий дли- тельностей тех же работ критического пути (1-3, 3-4, 4-5):

ij2 = 0,69 +0,69 + 0,25 =1,63

Полученное значение ее может быть существенно, по- этому окончательный результат по срокам окончания работ необходимо принимать с достаточной степенью вероятности. Свойства нормального распределения позволяют определить вероятные оценки тех или иных сроков наступления. Напри- мер, в нашем случае определим, какова вероятность выполне- ния комплекса работ за установленный срок, равный 20 дням. Для этого вычисляется отношение разности сроков к средне- му квадратическому отклонению (корню квадратному из дис- персии) и по таблицам нормального распределения находит- ся соответствующая вероятность:

ного распределения соответствует вероятность 0,821. Это оз- начает, что имеется 82 шанса из ста, что работы будут завер- шены за 20 дней или раньше и соответственно 18, что этот срок будет превышен.

Если установленный срок равен 21 дню, то относитель- ное отклонение будет равно:

21 18,83 1,71.

1,27

Ему соответствует вероятность 0,956, что означает, что завершение работ за 21 день можно предсказать с большой степенью уверенности.

Аналогично можно оценить и различные сроки наступ- ления промежуточных событий.

Различие между сетями с детерминированной и случай- ной продолжительностью работ не следует смешивать с раз-

личием детерминированных и стохастических сетей. Последнее

159

Теория экономического анализа

различие связано со структурой самой сети. Рассмотренные сети, в которых необходимо выполнять в заданной последова- тельности все работы графика, являются детерминированны- ми, хотя и имеют случайную длительность. Однако встреча- ются проекты, особенно при планировании исследователь- ских работ, на некоторых этапах которых дальнейшее содер- жание и порядок работ зависят от неизвестного заранее ре- зультата предшествующего события. Например, предусмот- рено несколько проектов строительства предприятий разной мощности по обработке сырья в зависимости от результатов разведки запасов этого сырья. Тогда на графике от «решаю- щего события», означающего результаты проведения развед- ки, отходит несколько обособленных комплексов работ, соот- ветствующих нескольким вариантам строительства и, какой из них будет выполняться, заранее не известно, а может быть оценено с некоторой вероятностью. Такие сети называются стохастическими, и методы их анализа основываются на тео- рии вероятности. Стохастические сети, как и детерминиро- ванные, могут характеризоваться детерминированной, либо случайной длительностью работ.

Оптимизация сетевых моделей. Существует различные сетевые графики с разным уровнем затрат и сроками испол- нения работ, что позволяет говорить о возможности поиска оптимальных вариантов.

Простейший подход при этом предполагает, что по каж- дой работе имеются следующие данные:

нормальная продолжительность работы и соответст- вующий им размер затрат;

срочная (экстренная) длительность и отвечающие им за- траты, которые увеличены за счет ускорения работ. Связь между ускорением работ и увеличением затрат при этом линейная: чем быстрее выполнения работы,

тем больше затрат при этом используют.

Возможная оптимизация сетевого графика видна из сле- дующего примера. Предполагается, что при нормальной про- должительности работы определены самые минимальные за-

160