Теория экономического анализа

Для решения рассматриваемого примера принимается общий принцип расчета, аналогичный расчетам принимаем в симплексном методе: вначале принимается исходный вариант перевозок, а затем он улучшается до получения оптимального значения.

Основные этапы транспортной задачи следующие. Этап 1 . Составляется первоначальное распределение

перевозок. Чаще всего для этого применяется правило «севе- ро-западного угла». Этот прием предполагает, что макси- мально допустимое количество груза помещается в верхнюю левую («северо-западную) клетку таблицы. Затем заполняет- ся соседняя клетка (в строке или столбце), в зависимости от того, где имеются еще не использованные возможности пере- возок. При заполнении одной из клеток, следующая должна загружаться одной из примыкающих к ней клеток: либо в той же строке, либо в том же столбце. Если ни в ту, ни в дру- гую из них нечего поставить (т.е. возможности соответст- вующих строк и столбцов уже исчерпаны), то в любой из них проставляется – ноль и от нее продолжается процесс после- довательного распределения. Этот прием гарантирует полу- чение в исходном варианте необходимое количество занятых

141

После исходного распределения просчитываем грузопо-

ток = 6·1+6·3+3·5+5·3+5·10 = 104 т-км.

Улучшение программы заключается в использовании незанятых клеток вместо заполненных. Для этого надо прове- рить каждую свободную клетку с точки зрения целесообраз- ности ее включения в программу перевозок.

Этап 2 . Для каждой свободной клетки составляется многоугольник, одна из вершин которого находится в свобод- ной клетке, а остальные в занятых или загруженных клетках. При этом все углы многоугольника должны быть прямыми. В вершинах многоугольника проставляются критерии опти- мальности с чередующимися знаками начиная с положитель- ного для свободной клетки.

Алгебраическая сумма этих показателей дает характе- ристику потенциальных возможностей данной клетки: при положительном ее итоге, заполнение свободной клетки не-

142

Глава 4. Методы экономического анализа

рационально, при отрицательном – гарантирует улучшение плана.

Если исходный вариант составлялся по правилу «северо- западного угла» с включением в необходимых случаях нуле- вых поставок, то всегда для каждой свободной клетки можно составить только один замкнутый многоугольник. Если отри- цательный результат получается для нескольких клеток, то выбирается:

а) наибольший по абсолютной величине:

для свободной клетки А3 (–3+4-3+5) = +3 (рис. 4.6) -3 +4

+5 -3

Рис. 4.6. Четырехугольник для клетки А3

для свободной клетки Б1 (+2-1+3-5) = -1 – самый лучший вариант (рис. 4.7)

–1 +3

+2 –5

Рис. 4.7. Четырехугольник для клетки Б1

для свободной клетки В2 (++7-5-5) = 0 (рис. 4.8)

–5 +3

+7 –5

Рис. 4.8. Четырехугольник для клетки В2

143

Теория экономического анализа

для свободной клетки В1 (–1+3-5+3-5+6) = +1 (рис. 4.9)

-1 3

–5 3

Рис. 4.9. Многоугольник для клетки В1

б) учитывается произведение отрицательной характери- стики на количество перемещенных в ней груза. Применение этого критерия позволяет заметно сократить количество ша- гов до получения оптимального плана.

Этап 3 . далее осуществляется переход к новому ва- рианту. Для этого производится перемещение грузов в пре- делах клеток данного многоугольника. В данную свободную клетку записывается наименьший из грузов, стоящий в клетках с отрицательными характеристиками. Одновре- менно этот же груз прибавляется к перевозкам всех плюсо- вых клеток и вычитается из всех минусовых клеток. Если в пределах данного многоугольника одинаковый минималь- ный груз имеет две и более клеток, то освобождаться может лишь одна из них, остальные будут загружены нулевыми поставками, так как на следующем этапе нельзя построить многоугольник для всех свободных клеток. Отсюда занятых клеток должно быть m + n = 1.

144

Этап 4. Полученный результат проверяется на опти- мальность аналогично п. 2.

1) –3+4–1+2 = +2

–1 +4

+2 –3

2) +1–2+5–3 = +1

+1 –3

–2 +5

3) +6–2+3–5 = +2

-2 +3

+6 -5

145

Теория экономического анализа

4) +7–3+1–2+3–5 = +1

Если характеристики всех клеток получены положи- тельные, то получен единственно возможный оптимальный вариант. Наличие, наряду с положительными, нулевых харак- теристик, говорит о возможности построения множества оп- тимальных планов данной задачи.

При решении больших и средних по размеру матриц распределительным методом – это трудоемкий процесс.

Недостаток распределительного метода преодолен в ал-

горитме модифицированного распределительного метода.

Суть его состоит в том, что первоначальное распределе- ние составляется обычным порядком (по правилу «северо- западного угла»), затем для каждой строки и столбца опреде- ляются коэффициенты так, что для любой загруженной клет- ке показатель критерия оптимальности был бы равен сумме коэффициентов строки и столбца, на пересечении которых находится эта клетка (табл. 4.18).

Глава 4. Методы экономического анализа

Для каждой свободной клетки определяется разность между ее показателем критерия оптимальности и суммы ко- эффициентов соответствующей строки и столбца:

4 – (0+1) = 3 > 0, А3 – не оптимальна; 2 – (1+2) = -1 < 0, Б1 – оптимальна; 6 – (1+4) = 1 > 0, В1 – не оптимальна;

7 – (3+4) = 0, В2 – ни оптимальна, ни не оптимальна. Отрицательные разности указывают на перспективные

клетки. Переход к новому плану осуществляется по общим правилам распределительного метода. В новом варианте сно- ва определяются коэффициенты строк и столбцов и вычис- ляются разности для всех свободных клеток. Когда среди этих разностей не окажется больше отрицательных величин, то это говорит о получении оптимального плана перевозок.

4.3.2.2.Сетевое планирование

Вобластях экономики особую сложность представляет собой планирование и создание новых систем (освоение про- изводства новых видов продукции), периодически повторяю- щихся разработок (ежегодное составление плана). Во всех слу- чаях выполняется огромное количество операций, в работу вовлекаются множество людей.

Впланировании и управлении сложными разработками оптимальными оказались сетевые методы, основу которых со- ставляет сетевой график – наглядное отображение плана ра- бот. Главными элементами сетевого графика являются собы- тия и работы. Событие – это состояние или момент достиже- ния промежуточной или конечной цели разработки. Началь- ное событие – отправной момент разработки. Событие не имеет протяженности во времени. Работа – это протяженный во времени процесс, необходимый для совершения событий. Каждая работа имеет предшествующее событие и определен- ным событием завершается. События обозначают кружочка- ми, работу – стрелками. В сетевых графиках время «течет»

147

Теория экономического анализа

слева направо. Первое событие помещают в левой части гра- фика; последнее – в правой, разместив между ними промежу- точные события в некотором порядке, соответствующем их номерам (рис. 4.10).

Рис. 4.10. Элементы сетевого графика

События связываются работами-стрелками. После со- ставления графика необходимо проверить его соответствие некоторым обязательным требованиям.

1.Только начальные события не имеют входящих стре- лок, только конечные – выходящих. Промежуточные события имеют входящие и выходящие стрелки.

2.Каждая работа должна иметь предшествующее и за- вершающее события.

3.На графике не должно быть изолированных участков, не связанных работами с остальной частью графика.

4.На графике не должно быть контуров (рис. 4.11).

1 2

3

Рис. 4.11. Контур

и петель (рис. 4.12)

1

Рис. 4.12. Петля

148

Глава 4. Методы экономического анализа

так как они означают, что условием начала некоторой работы является ее окончание. При возникновении контура, а в сложных сетях это случается довольно часто, необходимо вер- нуться к исходным данным и путем пересмотра состава до- биться его устранения.

5.Любые два события должны быть непосредственно связаны не более чем одной работой:

а) при обнаружении на графике параллельных работ вводится фиктивное событие 2' и фиктивная рабо- та – →, и одна из параллельных работ замыкается на это фиктивное событие (рис. 4.13).

1 2 1 2

а

2'

б

Рис. 4.13. Параллельнаяработа(а) ификтивныесобытияиработа(б)

б) в другом случае фиктивные работы вводятся, когда отражаются зависимые события. Например, работы a и b могут выполняться независимо друг от друга, но требуют одно и то же оборудование, и работа b не может начаться, пока не освободится оборудование после окончания работы a. Это обстоятельство тре- бует введения фиктивной работы c (рис. 4.14).

б

с

а

Рис. 4.14. Зависимые события

149