МЭИ(ТУ) Физика
.pdf
§ 3. Волны
Волна – любое распространяющееся в пространстве возмущение вещества или по-
ля.
РЕЗИНОВЫЙ ШНУР
0 
x
x x x
|
|
|
|
Уравнение бегущей волны |
||
A |
B |
|
x |
Пусть v – скорость распространения возмущений. |
||
|
|
|
От точки А в точку В возмущение придёт через время t′ = x1 v . |
|||
|
x1 |
|
|
|||
|
|
|
|
В точке В процесс идёт с запаздыванием на время t', поэтому в |
||
A |
|
B |
x |
точке В будет происходить то же, что происходило в точке А в |
||
|
|
момент времени t = tA − x v . |
||||
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
Пусть ξ – отклонение колеблющейся величины от поло- |
||
0 |
|
|
|
жения равновесия. |
||
|
ξ(t) |
|
|
В точке А ξ(0,t)= f (t); в точке В |
||
|
|
|
|
|
|
|
ξB (x,t)=ξA (0,t −t′)= f (t − x v). |
||||||
|
|
– уравнение бегущей волны, |
|
– уравнение обрат- |
||
ξ(x,t)= f (t − x |
v) |
ξ(x,t)= f (t + x v) |
||||
ной волны.
Гармоническая волна
Гармоническая волна – процесс распространения гармонических колебаний в пространстве.
|
x |
|
|
A |
|
x |
|
B |
|
||
|
|||
|
|
|
|
|
источник колебаний |
||
|
|||
f(t)= A cos(ωt +ϕ0 )
ξB (x,t )= ξA (0,t −t′)= f (t − x
v)= A cos[ω(t − x
v)+ϕ0 ];
ξ(x,t )= A cos[ω(t − x
v)+ϕ0 ]
–уравнение бегущей гармонической волны вдоль оси Oх.
|
|
ξ(x, t) |
|
|
|
|
t |
t + ∆t |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A |
|
ξ(x, t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ω (t − x v)= ωt −ω |
x |
= |
ω = |
2π |
= ωt − |
2πx |
= {λ = vT }= ωt − |
2π |
x = |
2π |
= k |
|
= ωt − kx ; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
v |
|
T |
|
T v |
|
|
λ |
λ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ξ(x,t)= A cos(ωt − kx +ϕ0 ),
где ξ – смещение (отклонение от положения равновесия колеблющейся точки в данном месте в данное время); А – амплитуда (максимально возможное отклонение от положе-
ния равновесия); х – координата колеблющейся точки; ω – угловая частота (ω = |
2π |
); |
|||
T |
|||||
|
|
|
|
||
k = |
2π |
– волновое число; λ = vT – длина волны (минимальное расстояние между точ- |
|||
λ |
|||||
|
|
|
|
||
ками, колеблющимися одинаковым образом); (ωt − kx +ϕ0 ) – фаза волны.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью или фронтом волны.
Если волновая поверхность – плоскость, то волна плоская: 
Если волновая поверхность – сфера, то волна
сферическая:
x
Волна называется продольной, если направление колебаний параллельно направлению распространения волны.
Волна называется поперечной, если направление
колебаний перпендикулярно направлению распростра- 
x нения волны.
Волновое уравнение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dξ |
|
|
|
1 |
|
|
dξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
f ′ |
− |
v |
|
|
= f |
′ |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
dt |
||||||||||||
|
|
|
|
|
ξ(x,t )= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
f t − |
|
|
; |
d 2ξ |
|
|
1 |
|
|
|
d 2ξ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
= f ′′ 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= f ′′ |
|
|
|
|
dt2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx 2 |
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2ξ |
1 |
d 2ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx 2 |
= |
|
dt 2 |
– волновое уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение данного уравнения в общем виде можно записать:
ξ(x,t )= |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|||
f |
1 |
t − |
|
|
|
+ f |
2 |
t + |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
v |
|
|
v |
|||||
прямая волна |
|
|
обратная волна |
||||||||
ГЛАВА V. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ
§ 1. Преобразования Галилея
y y'
y
O' B
A
O
0
0
y y'
vt
(–vt')
O'
O A
Имеем две системы отсчёта; ось х и ось х′ совпадают.
|
x', y' |
|
Необходимо ввести эталон длины и эталон време- |
|
|
|
|
|
|
|
x' ни (время – свойство физических процессов иметь |
|
|
x |
определённую длительность и следовать друг за |
x |
|
другом в определённой очерёдности). |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x1/v0 |
u – скорость запускающего сигнала, v – |
|
|
x2/u |
|
|
|
|
|
x1 |
x2 |
|
x скорость движущейся системы отсчёта. |
|
|||
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
v |
Когда t = 0 и t' = 0, начала координат O и O′ |
||
совпадают. Зная координаты точки в системе В, |
|||
x' |
|||
определим по каким формулам нужно найти ко- |
|||
|
|||
B |
x' ординаты этой точки в системе А. |
||
x |
x |
||
|
|
||
От В к А |
|
От А к В |
|
x = x ′+ vt′ |
|
x ′ = x − vt |
|
y = y′ |
|
y′ = y |
|
z = z′ |
|
z′ = z |
|
t = t′ |
|
t′ = t |
|
|
|
|
|
В классической механике соотношения между координатами и временем в разных системах отсчёта такие, как если бы эти системы были неподвижны друг относительно друга в данный момент времени.
§ 2. Следствия из преобразований Галилея
Инварианты преобразований – физические величины, численное значение которых не изменяется при переходе из одной системы отсчёта в другую (например, масса).
I. Абсолютность одновременности
Так как t' = t, то события, одновременные в одной системе отсчёта, будут таковыми и в другой системе отсчёта. Если t1' = t2', то t1 = t2.
II. Инвариантность длины отрезка
y |
y' |
v |
|
l′ = (x1′ − x 2′ )2 + (y1′ − y2′ )2 = |
|
y2 |
y1' |
|
|
= [(x 2 − x1 )− v (t2 −t1 )]2 + (y2 − y1 )2 = {t1 = t2 }= l. |
|
y1 |
l' |
|
|||
y2' |
|
|
|
||
|
|
|
l = l′ |
– длина инвариантна. |
|
|
|
|
|
||
|
x1' |
x2' |
x' |
||
|
x |
||||
|
x1 |
x2 |
|||
|
|
|
|
||
III. Инвариантность интервала времени
∆t′ = t2′ −t1′ = t2 −t1 = ∆t ;
∆t = ∆t′ – интервал времени инвариантен.
IV. Классический закон сложения скоростей
y y'
u' 
v = const
|
B |
x' |
|
|
|
A |
|
x |
Пусть тело движется со скоростью u' относительно системы B. Тогда его скорость относительно системы A будет равна
u = u'+v .
V. Инвариантность ускорения
a = ddtu = dtd (u'+v)= {dt = dt′}= ddut′' + ddtv = {v = const}= ddut′' = a' ; a = a' .
VI. Инвариантность массы и силы
В классической механике постулируется:
m = m′, F = F′ .
Если в системе отсчёта А для трёх физических величин m, a, F выполняется соотношение F = ma , то в силу того, что m = m′, a = a' , F = F' , в системе отсчёта В между этими величинами будет существовать соотношение F'= ma' .
Принцип относительности Галилея: все инерциальные системы отсчёта в механическом смысле эквивалентны друг другу. Это означает, что никакими механическими опытами, поставленными внутри инерциальной системы отсчёта, нельзя определить движется ли система отсчёта или она покоится.
ГЛАВА VI. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Механика |
Электрическое |
II закон Ньютона инвариантен относи- |
(электромагнитное) поле |
тельно преобразований Галилея. |
Уравнения, описывающие электромагнит- |
|
ное поле, не инвариантны относительно |
|
преобразований Галилея. |
§ 1. Преобразования Лоренца
Постулаты теории относительности
1.Все инерциальные системы отсчёта эквивалентны друг другу, т. е. все явления природы протекают в них одинаковым образом, по одним и тем же законам.
2.Скорость света не зависит ни от скорости источника излучения, ни от скорости наблюдателя, т. е. она постоянна во всех инерциальных системах отсчёта.
Вывод преобразований Лоренца
1)Система А условно неподвижна. Система В движется со скоростью v. Оси х и x' на одной линии и совпадают с направлением вектора v. Пространство изотропно и однородно, время однородно.
Снабжаем системы эталоном длины и эталоном времени, а также запускающим сигналом для синхронизации часов.
2)Момент времени, когда начала отсчёта обеих систем совпадают, примем за начало отсчёта времени в этих системах, т. е. когда O и O′ совпадают, тогда t = 0, t' = 0.
3)За основу новых преобразований возьмём преобразования Галилея:
x =α(x ′ + vt′), |
(1) |
|
|
x ′ =α′(x − vt ). |
|
4)Из первого принципа теории относительности следует, что α = α', так как если переход из системы А в систему В будет протекать по другим законам, нежели обратный переход, то системы не будут эквивалентны друг другу.
5)Когда начала отсчёта обеих систем совпадут, из этой точки вдоль оси х пошлём световой импульс и запишем закон его распространения в обеих системах:
y |
|
y' |
|
x = ct, |
(2) |
||
|
|
v |
|
|
′ |
′ |
|
|
|
|
x |
|
= ct ; |
|
|
|
|
c |
Сравни с классической механикой: |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
x' |
x = ct, |
|
||
|
A |
x' |
|
|
(c − v)t. |
|
|
|
x |
x |
x ′ = |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
6)Так как наблюдатели А и В следят за одним и тем же объектом, то координаты этого объекта должны быть связаны между собой формулами преобразований. Подставим (2) в (1):
ct =α(ct′+ vt′),ct′ =α(ct − vt).
Помножим верхнее уравнение на нижнее:
c2tt′ =α2 (c2 − v2 )tt′,
|
α = |
1 |
|
. |
|||
|
1− v2 |
c2 |
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
′ |
= |
x − vt |
. |
||
|
1− v2 |
c2 |
|||||
|
|
||||||
7) Найдём преобразование для времени. Для этого исключим из (1) х′:
|
|
x |
|
|
α |
||
(из α = |
1 |
||
1− v2 |
|||
=αx −αvt + vt′ vt′ = |
|
x |
−αx +αvt |
vt′ = |
|
|
|
1 |
||||||
|
|
|
α x |
|
|
|||||||||
α |
α |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
c2 ). Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
xv |
|
|
|
|
||
|
|
xv2 |
|
t′ = |
t − c2 |
|
|
|
|
|
||||
vt′ =α vt − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||
|
|
c |
|
|
|
1− v |
c |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
v2 |
|||
−1 |
+ vt |
; |
|
|
|
−1 = − |
|
2 |
α |
2 |
c |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Формулы преобразований Лоренца
От В к А |
От А к В |
|
||
x ′ = x − vt |
x = x |
′ |
+ vt |
′ |
|
|
|||
1− v2 c2 |
1−v2 c2 |
|||
y′ = y |
y = y′ |
|
|
|
z′ = z |
z = z′ |
|
|
|
xv |
|
|
′ |
|
t′+ |
x v |
|
||
t − c2 |
c2 |
|
||
t′ = |
t = |
|
|
|
1− v2 c2 |
1− v2 c2 |
|||
|
|
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЯ: |
1. |
При v << c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. |
2. |
Так как в преобразованиях присутствует 1− v2 c2 , то мы можем использовать эти |
|
преобразования только для систем отсчёта, движущихся со скоростью v < c. |
§ 2. Следствия из преобразований Лоренца
I. Замедление темпа хода движущихся часов
Ситуация 1
|
Поочерёдно наблюдают за периодом колебаний одного и того же маятника в сис- |
|||||||||||||||
темах отсчёта А и В и измеряют его. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y |
|
y' |
|
|
|
|
v |
TA = TB, иначе системы А и В неравноправны. |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
TA |
= TB |
= T0 |
– |
собственное время, т. е. время, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
TB |
|
|
|
измеренное |
в |
системе отсчёта, |
неподвижной |
||||||
|
|
B |
|
x' |
|
относительно данного процесса. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
TA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдатель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Ситуация 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Одновременно измеряют период колебаний маятника, находящего в системе В. |
|||||||||||||||
y |
|
y' |
|
|
|
|
В системе В: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
v |
T B =T0 ,(x |
2′ = x1′); |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в системе А: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
B |
|
|
x' |
|
T A = t2 −t1 , |
|
|
|
|
|
|
|||
|
A |
|
|
x |
|
|
(t2′ −t1′)+ |
|
v |
(x2′ − x1′) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
T A = |
|
|
c2 |
|
= |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1− v2 |
c2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= {t2′ |
−t1′ =T B =T0 ;x2′ = x1′}= |
|
|
T0 |
. |
(1) |
||||||
|
|
|
|
1 |
− v2 c2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TA = |
|
T0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−v2 |
c2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Темп хода движущихся часов замедляется. Интервал времени ∆t – не инвариантная величина по отношению к преобразованиям Лоренца.
II. Относительность одновременности
Если в формуле (1) t2' = t1', но x2' ≠ x1' (события происходят одновременно, но в разных местах), то t2 ≠ t1 (события происходят в разные моменты времени). События,