МЭИ(ТУ) Физика

где a' – ускорение доски относительно тележки. Решая совместно уравнения (1) и (2), находим

Относительное ускорение доски может принимать только положительное значение или обращаться в нуль:

Таким образом, приложенная сила F, при которой доска еще не будет двигаться относительно тележки, должна иметь предельное значение

1. По условию задачи F = 5,9 Н. Так как приложенная сила меньше предельного значения Fпред, при котором начинается скольжение доски относительно тележки, то a1 = a2 = a и возникающая сила трения есть сила трения покоя. Уравнения (1) можно переписать в виде

При решении уравнений (5) получим

f тр = MFM+ m = 5 Н ; a = M F+ m = 0,24 м с2 .

2. По условию задачи F = 19,6 Н. В этом случае F > Fпред, доска будет скользить относительно тележки, и сила трения, теперь уже сила трения скольжения, будет равна

f тр = µmg = 7,8 Н .

Уравнения (1) примут такой вид:

ma1 = F − µmg ,

ma2 = µmg .

Из первого уравнения находим

a1 = F − µmg = 3,0 м с2 .

m

Задача 6

На наклонной плоскости лежит груз массой m1 = 5 кг, связанным нитью, перекинутой через блок, с другим грузом m2 = 2 кг (рис. 9). Найти силу натяжения нити и ускорение грузов, если коэффициент трения между первым грузом и плоскостью µ = 0,1; угол α наклона плоскости к горизонту 36°.

Рис. 9

АНАЛИЗ

На первое тело действуют следующие силы: сила тяжести P1, сила нормальной реакции N (сила, с которой наклонная плоскость действует на груз), сила натяжения Т нити и сила трения fтр. Эта последняя сила всегда направлена в сторону, противоположную скорости тела; если же неизвестно направление движении системы, то нельзя указать направлении силы трения. Но так как сила трения скольжения не может изменить направление движения на обратное, то следует найти сначала направление движения в отсутствие трения, а затем уже решать задачу с учетом силы трения.

II закон Ньютона для первого тела без учета силы трения запишется так:

m1a = T + P1 + N .

Рассматривая проекции сил на ось х и предполагая, что ускорение первого тела направлено вниз параллельно наклонной плоскости, получим II закон Ньютона в таком виде:

Из условия нерастяжимости нити следует, что ускорение второго тела должно быть направлено вверх и по модулю равно ускорению первого тела. Так как обе силы (сила тяжести и сила натяжения нити), действующие на второе тело, коллинеарны, то II закон Ньютона для второго тела можно сразу писать в скалярном виде

Ускорение получилось положительным. Это значит, что первое тело будет двигаться вниз по наклонной плоскости, второе – вверх. Необходимо оговорить, что в данном случае направления ускорения и скорости обязательно совпадают, так как рассматриваемые тела не имели начальной скорости. Найдя направление движения, можно решать задачу уже с учетом сил трения. При этом II закон Ньютона и для первого тела можно теперь сразу писать в скалярном виде.

Как известно

f тр = µN ,

где k – коэффициент трения, N – сила нормальной реакции, действующая со стороны плоскости на первое тело, в данном случае

N = P1 cosα .

Таким образом, уравнения (3) и (2) составят систему уравнений

Решая совместно уравнения (4), находим

a = m1 sinα −m1µcosα −m2 g = 0,84 м с2 , m1 + m2

T = m1m2 g(1+sinα − µcosα) = 21,6 Н . m1 + m2

При некотором подборе числовых данных может получиться, что при учёте силы трения, т. е. при совместном решении уравнении (3), ускорение a будет отрицательно.

Как уже говорилось, выше, сила трения не может изменить направление движения на обратное; следовательно, в этом случае система неподвижна и ускорение a = 0. Это означает, что сила трения в действительности

f тр < µN .

Здесь мы вновь сталкиваемся с тем, что при отсутствии относительной скорости v' трущихся поверхностей сила трения может принимать любое значение в пределах от нуля до kN:

f тр ≤ µN .

Если же v' ≠ 0, то сила трения принимает значение f тр = µN .

Задача 7

На наклонной плоскости лежат два груза, соединенные тонким стержнем. Коэффициенты трения между грузами и плоскостью различны. В каком случае стержень будет сжат? В каком растянут? Разобрать качественно.

АНАЛИЗ

В отсутствие стержня ускорение каждого из грузов определяется только углом наклона плоскости к горизонту и величиной коэффициента трения. Если ускорение первого груза больше, чем ускорение второго, т. е. если первый коэффициент трения меньше второго (µ1 < µ2), то стержень будет замедлять движение первого груза и ускорять движение второго груза. В этом случае стержень будет растянут. Если µ1 > µ2 то стержень будет ускорять первый груз и замедлять второй груз; следовательно, стержень будет сжат.

Задача 8

Груз массой m = 200 г, привязанный к нити длиной l = 40 см, вращают в горизонтальной плоскости с постоянной скоростью так, что нить описывает коническую поверхность. При этом угол отклонения нити от вертикали α = 36° (рис. 10). Найти угло-

вую скорость вращения груза ω и силу натяжения нити T.

Рис. 10

АНАЛИЗ

Рассматриваемое тело движется по окружности радиуса r с постоянной скоростью. Следовательно, ускорение его направлено к центру (оси) вращения и равно

a = an = ω2 r . (1)

При этом движении на тело действуют только две силы – сила тяжести Р и сила натяжения нити F. Запишем II закон Ньютона

Одну из осей следует обязательно направить по нормали к траектории, к центру окружности, вторую – вертикально.

РЕШЕНИЕ

Заменяя векторную запись II закона Ньютона соотношениями между проекциями

Для того чтобы найти ω, воспользуемся соотношением (1):

где r – радиус окружности, по которой движется тело, равный r = l sin α .

Подставив значения an и r в уравнение (6), получим

ω2 = l cosg α , ω = lcosg α = 5,6 с−1 .

Вданном случае центростремительная сила равна векторной сумме силы тяжести и силы натяжения нити6.

Задача 9

Автомобиль массой m = 1600 кг едет с постоянной скоростью v = 36 км/ч по вы-

пуклому мосту, радиус кривизны которого r = 83 м (рис. 11). Найти силу давления автомобиля на мост в его верхней точке.

Рис. 11

АНАЛИЗ

Найти непосредственно по данным задачи силу давления автомобиля на мост мы не можем, но, рассматривая условия движения автомобиля, можно найти силу нормальной реакции N – силу, с которой мост давит на автомобиль. Эти силы по III закону Ньютона по модулю равны друг другу.

Автомобиль движется с постоянной скоростью по дуге окружности. Следователь-

6 При решении всякой задачи на динамику криволинейного движения следует указывать, из проекции каких сил складывается центростремительная сила в каждом отдельном случае.

но, полное ускорение автомобиля направлено к центру и равно

a = an = vr2 .

В созданииэтого ускорения участвуют только две силы – сила тяжести Р и сила нормальной реакции N. Сила тяги мотора и сила трения, также действующие на автомобиль, направлены по касательной к траектории и в верхней точке уравновешивают друг друга, поэтому их можно не рассматривать. Поскольку обе силы Р и N коллинеарны, II закон Ньютона можно записать сразу в скалярном виде, считая направление вниз положительным.

РЕШЕНИЕ

По II закону Ньютона имеем

man = P − N ,

откуда

Искомая сила давления автомобиля на мост

Pn = N =13,8 103 Н .

Полезно показать учащимся, что в любой другой точке моста нормальное ускорение будет создаваться проекцией силы тяжести на радиальное направление и силы нормальной реакции.

Задача 10

С какой максимальной скоростью может ехать мотоциклист по горизонтальной плоскости, описывая дугу радиуса r = 90 м, если коэффициент трения колес о почву µ = 0,4? На какой угол α от вертикали должен отклониться мотоциклист при скорости v1 = 15 м/с (рис. 12)?

АНАЛИЗ

При движении по кругу мотоциклист будет обязательно отклоняться от вертикального положения и движение его в принципе не будет поступательным (мотоциклист и мотоцикл рассматриваются как единое твердое тело). Следовательно, скорости различных точек отличны друг от друга. Для того чтобы найти скорость центра масс, надо

найти нормальное ускорение этой точки. Согласно теореме о движении центра масс его ускорение не будет зависеть от точек приложения сил, а на мотоциклиста действуют силы: сила тяжести, сила нормальной реакции, сила трения, сила тяги, направленные по касательной к траектории, и сила трения покоя, направленная к центру. Так как скорость мотоциклиста постоянна, сумма проекций всех сил на направление по касательной равна нулю. В наше рассмотрение войдут только сила тяжести Р, сила нормальной реакции N и сила трения покоя fтр, направленная но нормали к траектории, к центру ее

кривизны. Ускорение центра масс мотоциклиста, равное по абсолютной величине7 v2 , r

направлено также к центру.

Однако, эти силы приложены в разных точках, вследствие чего на мотоциклиста будет действовать еще вращающий момент. Этот момент равен нулю, если результирующая силы нормальной реакции и силы трения пройдет через центр тяжести (центр масс) мотоциклиста. Из рис. 12 видно, что условие будет выполнено, если

Сила трения, о которой идет речь, представляет собой силу трения покоя, так как в радиальном направлении мотоциклист не имеет скорости. Следовательно

7 Так как радиус траектории, по которой движется мотоциклист, очень велик, отличием радиуса окружности, по которой фактически движется центр масс, от заданной величины r можно пренебречь.

где N – сила нормальной реакции.

РЕШЕНИЕ

Рассмотрим соотношения между проекциями ускорения и действующих сил на оси, одна из которых направлена вертикально вверх, вторая – по нормали к центру окружности.

Уравнение (1) может быть заменено следующими двумя скалярными равенствами:

Неравенство (3) с учетом выражений (4) дает

f тр ≤ µmg

или

mrv2 ≤ µmg .

Следовательно,

vmax = µgr =19 м с.

При скорости v = v1 < vmax имеем

Легко видеть, что при v = vmax

tgα = µ .

Законы сохранения импульса и энергии

Следует прежде всего обратить внимание учащихся на вопрос о пределах применимости законов сохранения.

Закон сохранения импульса (количества движения) можно применять, строго говоря, только к замкнутым системам, т. е. к таким системам тел, на которые не действуют внешние силы, либо их векторная сумма равна нулю. Характер внутренних сил не является существенным; к числу этих сил могут относиться и силы трения. Кроме того,

систему можно считать замкнутой в течение такого малого промежутка времени, на протяжении которого в системе возникают силы взаимодействия, во много раз большие, чем внешние силы.

Втех случаях, когда результирующая всех внешних сил не равна нулю, т. е. система не является замкнутой, но проекция результирующей внешней силы на какое-либо направление во время взаимодействия равна нулю, сумма проекции количеств движения всех тел системы на это же направление остается постоянной.

При составлении уравнений на основании закона сохранения импульса следует обращать внимание на то, что скорости всех рассматриваемых тел должны обязательно отсчитываться относительно одной и той же системы отсчета, а также на векторный характер закона.

Система тел, механическая энергия которых постоянна, называется консервативной. Условие консервативности – отсутствие перехода механической энергии в другие виды энергии и обмена механической энергии между телами, принадлежащими к данной системе, и внешними телами.

Первое условие выполняется всегда, когда между телами системы действуют силы, величина и направление которых зависят только от координат взаимодействующих тел,

–консервативные силы, либо когда работа внутренних неконсервативных сил равна нулю. (Неконсервативными силами являются, например, сила трения, силы, возникающие при неупругом ударе.)

Второе условие выполняется в тех случаях, когда алгебраическая сумма работ всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

Внеконсервативных системах изменение полной механической энергии системы будет равно алгебраической сумме работ всех внешних сил и внутренних неконсервативных сил.

Указание. Если выражение для деформации упругого тела уже известно из лекционного курса, то задачу 5 § 4 следует рассмотреть в данном разделе.

Задача 1

На горизонтальной плоскости на рельсах стоит платформа с песком общей массой M = 5·103 кг. В платформу попадает снаряд массой т = 5 кг, летящий со скоростью v = 400 м/с. Снаряд летит вдоль рельс под углом α = 36° к горизонту (рис. 13). Найти скорость платформы, если снаряд застревает в песке.