МЭИ(ТУ) Физика

тельно воды со скоростью v2, которая возникает под действием усилий гребца и кото-

рую можно считать постоянной. Векторная сумма этих двух скоростей есть результирующая скорость лодки и определяет направление движения.

В первом случае результирующая направлена по прямой АС, во втором – по прямой АВ. Очевидно, что для описания движения лодки оси координат удобно выбрать следующим образом: ось х – вдоль реки, ось у – по направлению АВ, начало координат поместить в точке А.

Рис. 1

Уравнение движения по оси x во втором случае писать не нужно, так как алгебраическая сумма проекций скоростей на ось х равна 0, т. е.

Решая совместно уравнения (1), (2), (3) и (4), получим v1 = 0,20 м/с , v2 = 0,34 м/с ; l = 200 м; α = arccos 0,8 = 36°.

Задача 2

Над колодцем глубиной h = 10 м бросают вертикально вверх камень с начальной скоростью vнач = 14 м/с. Через сколько времени камень достигнет дна колодца?

АНАЛИЗ

Прежде всего следует особо подчеркнуть, что в течение всего времени, пока камень движется, его движение совершается по одному и тому же закону. Действительно, ускорение камня, равное ускорению свободного падения, если пренебречь сопротивлением воздуха, все время остается неизменным. Следовательно, движение камня является равнопеременным движением с отличной от нуля начальной скоростью. Тот факт, что, начиная с некоторого момента, скорость имеет противоположное первоначальному направление, не дает никаких оснований считать, что в этот момент меняется закон дви-

Знаки начальной скорости и ускорения и численное значение у0 определяются выбором положительного направления оси и начала отсчета. В этом можно убедиться в следующих трех случаях:

1) Ось у направлена вниз; начало отсчета помещается на уровне Земли. Тогда y0 = 0 ;

v0 = −vнач ;

a = g .

Уравнения (1) и (2) для данного случая принимают вид

y= −vначt + gt22 ; v = −vнач + gt .

2)Ось у направлена вверх; начало отсчета на уровне дна колодца. Тогда

y0 = h ;

v0 = vнач ;

a = −g .

Уравнение движения

y = h + vначt − gt22 ;

скорость камня

v = vнач − gt .

3) Ось направлена вверх, начало координат на уровне Земли. Тогда y0 = 0 ;

v0 = vнач ;

a = −g .

Уравнение движения

y = vнач t − gt22 ;

скорость камня

v = vнач − gt .

РЕШЕНИЕ

Проводим решение, например, по третьему варианту:

y = vнач t − gt22 или y = v0t − gt22 .

Решая это уравнение относительно t, получим

Отсюда сразу находим время tк, по истечении которого камень достигает дна колодца

( y = −h) :

tк′ < 0 )

Полезно обратить внимание учащихся на то, что исследование равенства (3) дает

2. Найти время, по истечении которого камень находится в любой промежуточной точке у своего пути.

При H > y ≥ 0 в (3) получится два ответа, каждый из которых имеет физический смысл, так как в каждой такой точке камень бывает дважды за время своего движения.

Задача 3

Два тела движутся по одной прямой с ускорениями a1 = 1 м/с2, a2 = 3 м/с2. Некоторую точку А пути второе тело проходит спустя τ = 14 с после первого тела в том же направлении. В точке A скорость первого тела vA = 22 м/с и скорость второго uA = 10 м/с.

Через сколько времени после прохождения первым телом точки А тела столкнутся?

АНАЛИЗ

Начало координат следует поместить в точке А. За начало отсчета времени удобно принять тот момент, когда первое тело проходит точку А. Тогда начальная скорость, первого тела v0 = vA. Начальная скорость u0 второго тела и начальная координата x02

могут быть найдены из условий задачи: при t = τ x2 = 0, uτ = uA.

РЕШЕНИЕ

Уравнение движения первого тела

При подстановке числовых значений в уравнения (5) и (6) получим, что u0 < 0, x02 > 0. Это значит, что второе тело в момент t = 0 находилось справа от точки A (считаем положительное направление оси х слева направо) и двигалось по направлению к точке А. В какой-то момент времени t < τ направление скорости второго тела измени-

(Уравнение (7) можно получить, если ввести для второго тела свое время t' = t – τ.) Время столкновения обоих тел определится из условия

x1 = x2 .

Приравнивая правые части уравнений (1) и (7), получим квадратное уравнение относительно t. Корни этого уравнения равны следующим значениям:

t1 = 51 с; t2 = 3 с.

Оба корня имеют физический смысл. Первый корень (t1 > τ) соответствует «столкновению» после того, как оба тела прошли точку А и движутся в одинаковом направлении.

Второй корень (t2 < τ) соответствует «столкновению» тел, когда второе тело движется к точке А навстречу первому телу.

Задача 4

Камень брошен с высоты h = 2,1 м под углом α = 45° к горизонту и падает на землю на расстоянии s = 42 м по горизонтали от места бросания (рис. 2). Найти начальную скорость v0 камня, время полета τ и максимальную высоту Н подъема над уровнем земли. Найти также радиусы кривизны траектории в верхней точке и в точке падения камня на землю.

Рис. 2

АНАЛИЗ

Движение камня, происходящее по параболе, можно рассматривать как сумму двух независимых движении: равномерное движение но горизонтали (по оси х) и равнопеременное по вертикали (по оси у). Начало отсчета удобно выбрать в точке бросания. Ось у направим вертикально вверх.

РЕШЕНИЕ

Для движения камня по оси х имеем

vx = v0 cosα = const ; x = v0 cosα t ;

Высоту подъема камня над землей можно найти из условия

H = h + ymax .

При y = ymax имеем vy = 0, t = t1. Подставив в уравнение (2) vy = 0, находим время подъема t1:

Найдём теперь направление векторов полного ускорения скорости и величины нормального и тангенциального ускорений в точках траектории, указанных в условии задачи. В верхней точке траектории vy = 0, v = vx; следовательно, векторы ускорения и скорости взаимно перпендикулярны. Это значит, что aτ = 0, an = g.

Зная нормальное ускорение и скорость, найдем радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке по формуле

В конечной точке траектории синус угла β между векторами скорости и ускорения может быть выражен следующим образом:

sin β = vvx .

Разложив вектор полного ускорения g на тангенциальное и нормальное, получим aτ = gcos β , an = gsin β ,

и радиус траектории в этой точке также находится из соотношения r = v2 , т. е. aB

n

Так как полное время τ движения и начальная скорость v0 уже найдены, скорость v

в точке падения на землю находится по формуле

v = v02 cos2 α + (v0 sinα − gτ )2 = 21 мс .

Тогда радиус кривизны траектории в этой точке r = 63 м.

Задача 5

С вершины горы под углом α = 36° к горизонту бросают камень с начальной скоростью v0 = 5 м/с (рис. 3). Угол наклона горы к горизонту также составляет 36°. На каком расстоянии l от точки бросания упадет камень?

Рис. 3

АНАЛИЗ

Так же, как и в предыдущей задаче, движение камня, происходящее по параболе, можно рассматривать как сумму двух независимых прямолинейных движений. В данном случае в качестве составляющих движений удобно брать движения вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно к ней. При таком рассмотрении оба составляющих движения прямолинейны и равнопеременны.

РЕШЕНИЕ

Поместим начало координат в точке бросания (точка А), ось х направим параллельно наклонной плоскости вниз, ось у – перпендикулярно к плоскости вверх. Как видно из рисунка,

На основании выражений (1) и (2) закон движения камня в выбранной системе координат можно записать следующим образом:

В точке падения камня (точка В) при t = τ, x = l y = 0. Подставив значения y = 0 и

g

Преобразуем выражение в скобках

cos 2α + 2sin2 α = cos2 α − sin2 α + 2sin2 α =1;

окончательно получим

Можно выбрать координатные оси как обычно – ось x' направить по горизонтали, ось y' вертикально вверх. Тогда получим следующую систему уравнений:

В точке В при t = τ1 xB' = l cos α, yB' = l sin α. Подставляя значения xB' и xB' в уравнение (6), найдем искомое значение l.