МЭИ(ТУ) Физика

АНАЛИЗ

Эта задача не может быть решена непосредственно с помощью законов Ньютона. Платформа приобретает скорость и в результате взаимодействия со снарядом, но закон изменения силы этого взаимодействия во времени не известен. Поэтому надо выяснить, можно ли решить эту задачу с помощью законов сохранения.

Рис. 13

На систему платформа-снаряд, кроме силы взаимодействия – силы, внутренней для этой системы, действуют сила тяжести, сила нормальной реакции и сила трения. В данном случае вследствие негоризонтального направления скорости снаряда сила нормальной реакции, действующая на платформу, во время взаимодействия платформы и снаряда будет меняться. Следовательно, закон сохранения количества движения к данной системе не применим.

Но если пренебречь силой трения (по сравнению с силой взаимодействия платформы и снаряда), сумма проекций внешних сил на горизонтальное направление будет равна нулю. Это значит, что проекция вектора полного импульса системы на горизонтальное направление остается постоянной:

p1x = p2 x ,

где p1x – проекция импульса системы на ось x до взаимодействия, p2x – после взаимодействия.

РЕШЕНИЕ

До взаимодействия вектор импульса системы

p1 = mv

или в скалярной форме

p1x = mvcosα ;

после взаимодействия

p2 = p2 x = (m +M )u .

На основании выражения (1)

mvcosα = (m +M )u .

Отсюда получаем

u = mvcosα = 0,32 м с. m +M

Задача 2

Акробат массой М = 50 кг, имея при себе груз m = 5 кг, прыгает под углом α = 60° к горизонту со скоростью v0 = 6 м/с (рис. 14). В наивысшей точке своей траектории он бросает груз горизонтально назад с относительной скоростью v' = 2 м/с. На сколько увеличится дальность прыжка акробата вследствие этого?

Рис. 14

АНАЛИЗ

Увеличение дальности прыжка на величину ∆s обусловлено увеличением горизонтальной составляющей скорости гимнаста вследствие броска груза.

Во все время движения на систему акробат-груз действует внешняя сила – сила тяжести. Но в верхней точке траектории, т. е. в момент броска, скорости акробата и груза строго горизонтальны, проекция силы тяжести на горизонтальное направление равна нулю. Следовательно, импульс системы до и после броска будет постоянным, при этом следует предположить, что время броска ничтожно мало.

Задачу удобно решать в системе координат, движущейся со скоростью v, где v = v0 cos α – горизонтальная составляющая скорости акробата до броска.

где v2 – горизонтально направленная скорость акробата после броска, t – время движе-

ния акробата от верхней точки траектории до земли, которое находится на основании закона независимости движения:

Для вычисления ∆v = v2 – v применяем закон сохранения импульса в системе x', y',

которая движется со скоростью v. В этой системе координат импульс системы акробат-

груз до броска p1 = 0, после броска – p2 = M∆v – m(v' – v), где М – масса акробата. Сле-

довательно,

M ∆v −m(v′− ∆v)= 0 ,

Подставив формулы (2) и (3) в равенство (1), получим

Задача 3

Снаряд, летевший горизонтально со скоростью v = 100 м/с, разрывается на две рав-

ные части на высоте Н = 40 м. Одна часть падает через t = 1 с на землю точно под местом взрыва. Найти величину и направление скорости второй части снаряда сразу после взрыва.

АНАЛИЗ

Силы, возникающие при взрыве снаряда, настолько велики, что систему снаряд – две его части можно считать замкнутой. Следовательно, полный вектор импульса сис-

α

Рис. 15

До взрыва вектор p1 направлен горизонтально. После взрыва полный вектор импульса p2 равен сумме векторов импульсов двух частей снаряда, на которые он разрывается. Один из этих векторов согласно условию задачи направлен строго по вертикали, направление и величину другого вектора надо определить. Равенство (1) можно переписать в скалярной форме, если ввести координатные оси: ось x – по горизонтали, ось y

– вертикально вверх или вниз. Можно провести решение и непосредственно из вектор-

где m – масса каждой части снаряда, v – его скорость; u1 – начальная вертикальная ско-

рость 1-й части снаряда, u2 – скорость 2-й части.

РЕШЕНИЕ

Как видно из рис. 15,

(mu2 )2 = (2mv)2 +(mu1 )2 ,

откуда

u2 = 4v2 + u12 ,

α = arcsin 2uv1 .

На основании закона падения для 1-й части снаряда:

Тогда скорость 2-й части снаряда

u2 = 202 мс;

вектор скорости u2 будет направлен к горизонту под углом

α = arcsin 0,17 =10°.

Задача 4

Камень брошен с высоты h = 2 м под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью v0 = 6 м/с. Найти скорость камня в момент падения на землю, если сопро-

тивлением воздуха можно пренебречь.

АНАЛИЗ

Задача может быть решена с помощью законов кинематики, однако такой метод решения будет излишне громоздким.

Во все время полета на камень действует только сила тяжести. Эта сила, как известно, зависит от координат камня, поэтому для системы Земля – камень применяем закон сохранения энергии

где ∆Eк и ∆Eп – соответственно изменения кинетической и потенциальной энергий системы8. Потенциальная энергия системы есть энергия взаимодействия тел, входящих в систему. Изменением кинетической энергии Земли можно пренебречь9.

РЕШЕНИЕ

Рассмотрим значение каждого слагаемого выражения (1). Скорость камня изменилась от значения v0 в первом состоянии до значения v во втором.

где т – масса камня. Потенциальная энергия системы уменьшилась при переходе из первого состояния во второе. Следовательно,

Подставив выражения (2) и (3) в уравнение (1), получим

8Разность ∆E = E2 – E1, где E2 всегда конечное, а E1 – начальное значение энергии.

9Это замечание относится ко всем задачам, в которых рассматривается система, включающая Землю.

v2 −v02 −2gh = 0 ,

откуда

v = v02 +2gh = 8,6 м с.

Задача 5

Камень массой m = 100 г, соскользнув с наклонной плоскости высотой h = 3 м, приобрел в конце ее скорость v = 6 м/с. Найти работу силы трения.

АНАЛИЗ

Работа силы трения не может быть найдена из формулы A = Fs, если не известны угол наклона плоскости и ее длина; значит, единственно возможный путь решения – это использование закона изменения механической энергии.

На камень во время движения действуют три силы: сила тяжести Р, сила нормальной реакции N и сила трения fтр. Работа силы нормальной реакции, внешней по отно-

шению к системе камень-Земля, равна нулю, так как угол (N,s)= π2 .

Работа силы трения, искомая величина, заведомо нулю не равна, поэтому закон сохранения механической энергии к системе камень-Земля применять нельзя, т. е.

∆Eк + ∆Eп ≠ 0 . (1)

Знак неравенства обусловлен действием именно силы трения. Поэтому изменение полной энергии системы камень-Земля будет равно работе этой силы, т. е.

РЕШЕНИЕ

Рассмотрим в отдельности значения слагаемых, входящих в левую часть уравнения

(2):

∆Eк = m2v2 ,

так как начальная скорость камня v0 = 0,

∆Eп = −mgh

(знак «минус» говорит о том, что потенциальная энергия системы уменьшилась). Тогда уравнение (2) запишем в следующем виде:

m2v2 − mgh = Aтр ,

откуда, вычисляя, получим

Aтр = −1,2 Дж .

(Знак «минус» объясняется тем, что сила трения препятствует перемещению камня.)

Задача 6

На нити длиной l = 30 см подвешен точечный грузик. Какую наименьшую начальную скорость надо сообщить грузу в нижней точке В (рис. 16), чтобы он начал вращаться в вертикальной плоскости?

Рис. 16

АНАЛИЗ

Так как груз подвешен на нити, а не на стержне, то в верхней точке С скорость груза заведомо не может равняться нулю. Поэтому выясним сначала, какой минимальной скоростью должен обладать груз в верхней точке С при вращении в вертикальной плоскости. Для того чтобы тело двигалось по окружности заданного радиуса r (а в данном случае r = l), сумма проекций всех действующих сил на нормальное (к траектории) направление должна равняться произведению массы тела на величину нормального ус-

корения, т. е. произведению m v2 . r

На груз, подвешенный на нити, во время его движения действуют две силы: сила тяжести Р и сила натяжения Т. В точке С обе силы направлены по вертикали вниз.

Как и предыдущая, данная задача сводится в основном к нахождению условий движения груза по заданной траектории. В каждый данный момент сумма проекций всех действующих на груз сил на направление, нормальное к траектории, должна рав-

няться произведению man = m v2 . r

Рис. 17

На груз во время его движения по сфере действуют две силы: сила тяжести и сила нормальной реакции со стороны сферы. Уравнение движения груза в проекции на ось x может быть записано следующим образом:

mrv2 = mg cosα − N .

При движении груза по сфере скорость будет возрастать под действием проекции силы тяжести на касательное направление, а сила его давления на сферу, а значит и сила нормальной реакции со стороны сферы будут уменьшатся, и в момент срыва груза с траектории N = 0. Из этого условия получим, что

Второе уравнение для скорости v груза в момент срыва может быть получено из за-

кона сохранения энергии системы груз-Земля, применимого на основании того, что сила нормальной реакции во время движения груза работы не совершает, трение отсутствует по условию. Поэтому

РЕШЕНИЕ

При скольжении груза по сфере потенциальная энергия системы уменьшается на величину

Подставив выражения (3) и (4) в уравнение (2), находим

Учитывая, что cosα = r −r h , выражение (1) может быть записано следующим образом:

При совместном решении уравнений (5) и (6) получим h = 3r = 30 см.

Задача 8

Для забивки сваи массой m = 100 кг используется копер, подъемная часть которого, так называемая «баба», массой M = 400 кг падает с высоты h = 1,5 м. Найти среднюю силу сопротивления грунта, если в результате одного удара свая уходит в землю на глубину s = 5 см. Считать удар между сваей и падающим грузом абсолютно неупругим.

АНАЛИЗ

Согласно условию удар между падающим грузом и сваей неупругий, груз и свая после удара будут двигаться вместе. При прохождении пути s системой свая-груз на нее действуют сила тяжести, и сила сопротивления грунта. Работа этой последней силы заведомо не равна нулю. Следовательно, к системе груз-свая-Земля закон сохранения энергии не применим, т. е.

∆Eк + ∆Eп ≠ 0 .

Знак неравенства обусловлен работой силы сопротивления, поэтому можно записать

кинетическая энергия уменьшается до нуля, поэтому