МЭИ(ТУ) Физика
.pdf1. m1 = m2
u1 = v2 и u2 = v1 – обмен скоростями.
(a) v2 = 0; m2 >> m1: u2 ≈ 0, u1 ≈ -v1.
2.Удар тела массой m1 о неподвижную плиту массой m2 (m2 >> m1, v2 = 0)
После удара u2 ≈ 0; u1 ≈ –v1.
ГЛАВА IV. КОЛЕБАНИЯ
§ 1. Свободные затухающие колебания
I. Вывод дифференциального уравнения
Колебания можно подразделить на механические и электромагнитные.
Механические колебания
Пружинный маятник
k
m
|
|
x |
|
O |
|
x |
|
|
|
|
|
Силы
3.Сила упругости Fупр = −kx .
4. Сила сопротивления Fсопр = −rv ,
где r – коэффициент сопротивления.
Уравнение динамики
max = Fупр + Fсопр ;
m |
d 2 x |
= −kx − r |
dx |
; |
||||||
dt |
2 |
dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
d 2 x |
+ |
r dx |
+ |
kx |
= 0 . |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
dt 2 |
m dt |
m |
||||||||
|
|
|
|
|
mk =ω02 – собственная частота колеба-
ний в системе без затухания;
mr = 2β – коэффициент затухания.
x ′′+2βx ′+ω02 x = 0 .
Электромагнитные колебания
Электромагнитный контур
1 2 C
R
L
Запишем обобщённый закон Ома для участка цепи 1–R–L–C–2:
IR = (ϕ1 −ϕ2 )−E ,
E = E самоинд = −L dIdt ;
ϕ1 −ϕ2 = qCC ;
I = − dqdtC
Знак «–» объясняется тем, что ток в цепи возникает за счёт убыли заряда на конденсаторе.
− |
|
dq |
C |
R = |
|
q |
C |
|
+ L |
d 2 q |
C |
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
C |
|
|
dt 2 |
||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
d 2 q |
+ |
R dq |
+ |
|
q |
|
= 0 ; |
|
||||||||||||
|
dt 2 |
|
L |
dt |
LC |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
= ω02 , |
|
R |
= 2β . |
|
|||||||||||
|
|
|
LC |
|
|
|
L |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q′′ +2βq′ +ω02 q = 0 .
II. Решение дифференциального уравнения x′′+ 2βx′+ω02 x = 0
– однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Будем искать решение этого уравнения в следующем виде:
x = eλt , тогда x′ = λ eλt , x′′ = λ2 eλt . eλt (λ2 + 2βλ +ω02 )= 0 ;
eλt ≠ 0 → λ2 + 2βλ +ω02 = 0
– характеристическое уравнение. Его корни:
λ1,2 = −β ± β 2 −ω02 .
Рассмотрим 4 случая: β = 0, β < ω0, β > ω0, β = ω0.
1)0 ≤ β < ω0
Всистеме имеется слабое затухание (малые потери энергии).
Пусть ω02 − β 2 = ω12 , здесь ω1 – собственная частота колебаний в системе с затуха-
нием. Тогда
|
|
|
λ1,2 |
= −β ± iω1 , |
|
|
|
|
где i = −1 – мнимая единица; |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = eλt , |
|
|
. |
|||||
x = e−βt (a1eiω1t + a2e−iω1t ) |
||||||||
Известно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
eiϕ + e−iϕ |
|
eiϕ − e−iϕ |
= sinϕ . |
|||||
2 |
|
= cosϕ , |
2i |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
x = A e−βt cos(ω1t +ϕ0 ) |
||||||
а) β = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Потери отсутствуют. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = A cos(ω0t +ϕ0 ), при β = 0 ω1 → ω0 . |
||||||||
Гармонические колебания |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
А – амплитуда. |
|||||
T0 |
|
|
|
|
|
|
|
A
t
ϕ = (ω0t +ϕ0 ) – фаза (определённое состояние системы в данный времени, φ0 – началь-
ная фаза (зависит от выбора начала отсчёта времени).
φ |
|
Собственная частота колебаний |
|
φ0 |
|
ω0 |
= 2π , |
|
|
|
T0 |
|
|
Т0 – период колебаний. |
|
|
|
t |
|
б) 0 ≤ β < ω0 |
|
|
|
Малые потери энергии |
|
|
|
|
x = A e−βt cos(ω1t +ϕ0 ), |
||
A e−βt – амплитуда затухающих колебаний. |
|
||
Амплитуда |
|
|
cos(ω1t + φ0) |
A |
A e-βt |
|
|
0 |
t |
0 |
t |
x |
|
|
|
A1(0)
A1(τ) = A(0)/e
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь A = A e−βτ |
– амплитуда затухающих колебаний, ω |
1 |
= |
ω2 |
− β 2 |
– собствен- |
|||
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
ная частота затухающих колебаний, T = |
2π = |
2π |
, T1 > T0; τ – время релаксации |
||||||
|
1 |
ω1 |
ω02 − β 2 |
|
|
|
|
|
|
(затухания) – время, по истечении которого амплитуда уменьшается в е раз.
A1e(0) = A1 (τ ), A1 = A e−βτ = A e−1 → βτ = 1;
τ = β1 .
N – число колебаний, по истечении которых амплитуда спадает в е раз,
N = |
τ |
= |
1 |
|
. |
|
T |
β T |
|||||
|
|
|
||||
|
1 |
|
1 |
|
|
Логарифмический декремент затухания |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
A (t) |
|
A e−βt |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
β T |
|
|
|
1 |
|
|
|||||
θ = ln |
|
1 |
|
= ln |
|
|
= ln(e |
1 |
)= β T1 , |
θ = β T1 |
= |
|
|
. |
A1 |
(t + T1 ) |
A e |
−β (t+T1 ) |
N |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Добротность контура
Q = π N .
При малых β:
Q = 2π ∆WW ,
здесь W – запас энергии в контуре, ∆W – потери энергии за одно колебание. 2) β > ω0
Сильное затухание в системе
λ1 = −(β + |
β 2 −ω02 )= −κ1 < 0 , |
||
λ2 = −(β − |
β 2 −ω02 )= −κ2 < 0 , |
||
|
|
|
|
|
x = a1 e−κ1t + a2 e−κ2t |
. |
|
x |
|
x |
0 t 0 t
Апериодический процесс – колебаний нет. 3) β12 = ω0, λ1,2 = –β
x= (a1 + a2t) e−βt
–апериодическое решение, колебаний нет.
§ 2. Вынужденные колебания
I. Вывод дифференциального уравнения
Механическая система
k |
m |
Ω |
|
||
|
x |
|
|
|
Силы:
Fупр = −kx ,
Fсопр = −rv ,
Fвынуждающая = F0 cos(Ωt).
m d 2 x = −kx − r dx + F |
cos(Ωt); |
||
dt2 |
dt |
0 |
|
|
|
x′′+ 2βx′+ω02 x = f0 cos(Ωt).
2β = mr , ω02 = mk , f0 = Fm2 .
Электромагнитная система
1+ –2
C
R
L
Закон Ома:
IR = (ϕ1 −ϕ2 )− L dIdt +ε0 cos(Ωt), I = − dqdtC ,
ϕ1 −ϕ2 = qCC ;
d 2 q |
+ 2β dq |
+ω02 q = f0 cos(Ωt); |
|||||||
dt 2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
2β |
= |
R |
, ω02 |
= |
1 |
, f0 |
= − |
ε0 |
. |
L |
LC |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
L |
q′′ + 2βq′ +ω 02q = f0 cos(Ωt).
II. Решение дифференциального уравнения x′′+ 2βx′+ω02 x = f0 cos(Ωt)
– неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решение этого уравнения можно представить в виде x = x1 + x2 ,
где х1 – общее решение однородного уравнения, х2 – частное решение неоднородного уравнения.
При β < ω0:
x1 = A e−βt cos(ω1t +ϕ0 ),
x
t
Графическое решение
x
τ
x2 = A cos(Ωt +ϕ0 ).
x
2π t
Ω
стационарный режим
A
t
τ– время установления колебаний
Втечение времени τ происходит затухание общего решения и остаётся только ча-
стное решение. В результате частота вынужденных колебаний будет равна частоте вынуждающей силы.
Рассмотрим частное решение:
x2 = A cos(Ωt +α0 );
x′′+ 2βx′+ω02 x = f0 cos(Ωt), |
(1) |
x2′ = −AΩ sin(Ωt +α0 ), |
(2) |
x2′′ = −AΩ2 cos(Ωt +α0 ). |
(3) |
Ищем решение при β < ω0. Из (1), (2) и (3):
− AΩ2 cos(Ωt +α0 )− 2βAΩ sin(Ωt +α0 )+ω02 A cos(Ωt +α0 )= f0 cos(Ωt +α0 −α0 )
(прибавили и отняли α0 в аргументе косинуса в правой части уравнения). Из тригонометрии имеем:
− AΩ2 cos(Ωt +α0 )− 2βAΩ sin(Ωt +α0 )+ω02 A cos(Ωt +α0 )= = f0 cos(Ωt +α0 ) cos(α0 )+ f0 sin(Ωt +α0 ) sin(α0 ).
Всегда можно найти такие моменты времени, когда либо cost = 0 , либо sint = 0 : |
|
− 2βΩA = f0 sin(α0 ), cost = 0; |
(4) |
|
(5) |
− AΩ2 +ω02 A = f0 cos(α0 ), sin t = 0. |
Разделим верхнее уравнение системы на нижнее:
tgα0 = − 2βΩ .
ω02 − Ω2
α0 |
Колебания отстают по фазе от вынуждающей силы |
ω0 |
Ω на α0. |
0
–π/2
–π
Возведём в квадрат уравнения (4) и (5) и сложим их:
4β 2Ω2 A2 + A2 (ω02 − Ω2 )2 = f02 (cos2 (α0 )+ sin2 (α0 ))= f02 ;
A = |
f0 |
, |
4β 2Ω2 + (ω02 − Ω2 )2 |
где A – амплитуда гармонических колебаний.
Если
здесь Ωрез
|
|
f |
0 |
|
Ω = 0 |
A = |
|
|
|
|
2 |
где-то должен быть максимум. |
||
|
, то |
ω0 |
||
Ω → ∞ |
|
|
|
|
|
A → 0 |
|
ddΩ [(ω02 − Ω2 )2 + 4β 2Ω2 ]= 0 ; 2(ω02 − Ω2 ) (− 2Ω)+ 4β 2 2Ω = 0 ;
Ω = 0Ω2рез = ω02 − 2β 2 ,
– резонансная частота.
|
|
|
Ωрез |
ω |
1 |
|
ω |
0 |
|
ω |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
контур без затухания |
|||
|
|
|
ω02 − 2β 2 |
ω02 − β 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
При |
Ωрезон. = |
ω02 − 2β 2 |
|
A = |
f0 |
= |
|
f0 |
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
β ω02 − β 2 |
|
2βω1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
A |
|
|
|
|
Резонансная кривая |
|||||||
f0 |
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β2 > β1 |
|
||||||
2βω1 |
β1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f0
ω02 β2
Ωрез ω1 ω0 |
Ω |
Электрический колебательный контур
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Резонанс |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Резонанс напряжения |
|
|
|
Резонанс тока |
|
||||||||||||||||
q′′+ 2βq′+ω02 q = ε0 cos(Ωt); |
|
|
I = q′ = |
|
d |
[A cos(Ωt |
+α0 )]= |
|||||||||||||||
U = |
|
q |
, l0 = − |
ε0 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= −AΩ sin(Ωt +α0 ); |
|
|||||||||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
l0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l0Ω |
|
|||
q = |
|
|
(ω02 − Ω2 )2 + 4β 2Ω2 . |
|
|
I = (ω02 − Ω2 )2 + 4β 2Ω2 . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ωрез = ω0 |
. |
|
||
|
|
|
|
|
2 |
− 2β |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Ωрез = |
ω0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|