Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МЭИ(ТУ) Физика

.pdf

Скачиваний:

1084

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

40.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 2014 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

IV. Теорема о параллельных осях (теорема Штейнера)

Момент инерции тела зависит от выбора оси вращения. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящий через центр масс IOz, то момент инерции относительно произвольной оси, параллельной данной, можно найти по формуле

IO'z′ = IOz + mb2 .

Здесь Oz – ось, проходящая через центр масс; O′z′ – ось, параллельная оси Oz, b – расстояние между осями, m – масса тела.

z'	z	ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
		Разобьём тело на элементарные массы ∆mi. Начало коорди-
		нат оси х расположим в центре масс тела. Момент инерции
	ц. м.	x тела относительно оси, проходящей через центр масс

O' b

Ось O'z'

I 0 = ∑δmi Ri2 .

Момент инерции тела относительно параллельной оси

∆mi	I = ∑∆mi ri2 .
ORi αi	Так как r2	= R 2	+ b2 −2R	bcos(π −α	), то
Ось ц. м.	i	i	i	i
Ось ц. м.

I = ∑∆mi ri2 = ∑∆mi Ri2 + ∑∆mi b2 +

+2∑∆mi Ri bcos(αi )= I0 + b2 ∑∆mi +2b∑∆mi Ri cos(αi )=

= {

∆m

= m,R

cos(α

)= x

− координата

элемента ∆m

}= I

+ mb2

+2mb ∑∆mi x i

∑

∆m

i = x ц. м. − координата центра масс, но т. к. начало координат совпадает

сцентром масс, то x ц. м. = 0}= I 0 + mb2 .

Получили

IO 'z ' = IOz + mb2 ,

что и требовалось доказать.

V. Теорема о движении твёрдого тела

Всё вышеизложенное можно обобщить в виде следующих утверждений:

1.Любое сложное плоское движение тела можно представить как сумму поступательного движения этого тела и вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс тела. (Такое разбиение не единственное.)

Качение цилиндра

2.Поступательное движение тела описывается движением центра масс, которое подчиняется следующему закону:

maц. м. = ∑F

или, в более общем виде,

d(mvц. м. )= ∑Fdt .

3.Вращательное движение тела вокруг оси центра масс происходит так, как если бы эта ось была неподвижна, т. е. подчиняется уравнению

I ц. м.ε = ∑Mцвнеш. м. .

или, в более общем виде,

d(I ц. м.ω)= ∑Mцвнеш. м. dt .

ЗАМЕЧАНИЕ

Уравнение Iε = ∑M справедливо только для неподвижной оси. Если же ось вра-

щения проходит через центр масс, то уравнение I ц. м.ε = Mц. м. справедливо и тогда, ко-

гда ось вращения движется ускоренно (в этом случае сумма моментов сил инерции обращается в нуль).

Сложное		Поступательное		Вращательное движение вокруг
плоское	=	движение	+	оси, проходящей через ц. м.
движение		maц. м. = F		I ц. м.ε = Mц. м.

ГЛАВА III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Законы сохранения позволяют связать состояния системы до и после взаимодействия, не вдаваясь в подробности протекающего процесса. Они несут информацию о характере внутренних сил системы. Они не знают исключений. Они справедливы как для микро-, так и для макротел; справедливы при скоростях, много меньших скорости света, и при скоростях, сравнимых со скоростью света.

§ 1. Закон сохранения импульса

m1	v1	pсист = m1v1 + m2 v2 +... + mN vN .
m1	v1	Закон изменения импульса системы:
	m2	Закон изменения импульса системы:
	v3		dpсист	= ∑Fiвнеш .
	v3			= ∑Fiвнеш .
	v2		dt
	m3	Если система замкнута, то Fвнеш			= 0 и	dpсист	= 0 .
		Если система замкнута, то Fвнеш			= 0 и		= 0 .
				i		dt
						dt

В замкнутой системе импульс остаётся постоянным: m1v1 + m2 v2 +... + mN vN = const .

Условия, при которых импульс системы остаётся постоянным

4.Внешние силы не действуют ( Fiвнеш = 0 ), либо векторная сумма всех внешних сил равна нулю ( ∑Fiвнеш = 0 ), тогда pсист = const .

5.Запишем закон изменения импульса системы в проекциях на оси Ox, Oy, Oz:

		d(p		сист	)	= ∑(Fiвнеш )x ,
					x
			dt

dp	сист	d(pсист			)y	= ∑(Fiвнеш )y ,
		= ∑Fiвнеш
dt			dt
					)
		d(p		сист		= ∑(Fiвнеш )z .
					z
			dt

Если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю ( ∑Fiвнеш ≠ 0 ), но сумма внешних сил в проекции на одну из осей равна нулю (на-

пример, ∑(Fiвнеш )y = 0 ), то проекция импульса системы на это направление остаёт-

ся постоянной ( (pсист )y = const ).

6.Короткие взаимодействия (удары, взрывы). Если внутренние силы гораздо больше внешних сил, а время взаимодействия мало, то импульс системы можно считать постоянным.

∆pсист = Fвнеш ∆t ,

при ∆t → 0 pсист = const .

§ 2. Закон сохранения момента импульса

Характеристикой поступательного движения является импульс тела.

dtd (mv)= ∑F p = mv

импульс

Характеристикой вращательного движения является импульс тела.

dtd (Iω)= ∑M

L = Iω

момент импульса

I. Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси

z			,
		Lточки = [r mv]
L	L	L = r mv sin(r mv).

m r

ПРИМЕР 1

Движение точки по окружности
L	z		L = [R mv], R mv.
	z		L = [R mv], R mv.
			L = R mv sin	π	= {v = ωR}= Rm ωR = mR 2ω = I точки ω .
		mv	L = R mv sin	π	= {v = ωR}= Rm ωR = mR 2ω = I точки ω .
		mv		2
	R
	R

ПРИМЕР 2
Прямолинейное движение точки
		z	L = Rm v sin(r mv)= Rm v sin(π −ϕ)= mvR sinϕ = mvh
		z	L = Rm v sin(r mv)= Rm v sin(π −ϕ)= mvR sinϕ = mvh
r					h
		h

φ
m	v

II. Момент импульса твёрдого тела относительно неподвижной оси

Разобьём твёрдое тело на элементарные участки массой ∆mi .

L = ∑∆Li = ∑[ri ∆mi vi ].

Все ∆Li

всегда параллельны друг другу. Всегда ri vi.

∆Li

ω)=

L = ∑

sin

∆Li = ∑ ri ∆mi vi

{vi = ω ri }= ∑(∆mi ri

∆mi

=ω ∑(∆mi ri2 )= IOzω .

IOz

LOz

= IOzω

III. Закон сохранения момента импульса

Запишем уравнение динамики вращательного движения для каждо-

го тела:

∑Miвнутр1 + M1внеш ,

dL2

внутр

внеш

∑Mi2

+ M2

.......... .......... .......... ......

dLN

внутр

внеш

= ∑MiN

+ M N .

Cложив уравнения данной системы, получим:

(

I ω )=

∑∑

M внутр +

∑

M внеш ;

dt ∑

сист

= ∑MOzвнеш

Если сумма моментов внешних сил относительно некоторой оси равняется нулю

(∑MOzвнеш = 0), то момент импульса этой системы относительно данной оси остаётся постоянным ((Lсист )Oz = const ).

ω2 = I1 ω1 .

I1ω1

I2ω2

z	ωx LOz = 0 ,
	0 = I колеса ω0 + I чел.+скам. ωx ,
	ω0	I колеса
	ωx = −		ω0 ,
O
		I чел. +скам.

Можно доказать теорему о том, что момент импульса тела относительно произвольной оси A равен сумме момента импульса этого тела относительно оси, проходящей через центр масс, и [r·mvц. м.].

LA = Lц. м. + [r mvц. м. ].

§ 3. Тензор момента инерции

Всестороннее сжатие тела

z Fz

x Fx

k xx

k = k yx

kzx

Fx = k xx ∆x + k xy ∆y + k xz ∆z,Fy = k yx ∆x + k yy ∆y + k yz ∆zFz = kzx ∆x + kzy ∆y + kzz ∆z;

F = k∆r .

k xy	k xz
k yy	k yz	– тензор упругости.
kzy	kzz

			Момент импульса твёрдого тела относительно
	z		точки
	Lz	LO	Lz = [r mv],
O	r	mv LO = [r mv]

Момент импульса твёрдого тела относитель-

но оси

Разобьём тело на участки ∆mi:

∆mi

LО = ∑[ri ∆mi vi ]={vi = [ωri ]}= ∑∆mi [ri [ωri ]]=

= ∑∆mi (ω(ri ri )−ri (ωri ))=

y =

∑

∆m

(ω(x 2

+ y2

+ z2 )−r

(ω

+ω

)).

i i

Найдём проекции вектора LO на оси x, y, z:

L x = ∑∆mi (ωx (xi2 + yi2 + zi2 )− xi (ωx xi +ωy yi +ωz zi ))=

= (∑∆mi (yi2 + zi2 ))ωx −(∑∆mi x i yi )ωy −(∑∆mi x i zi )ωz ;

L y = −(∑∆mi yi x i )ωx + (∑∆mi (x i2 + zi2 ))ωz −(∑∆mi yi zi )ωz ;

Lz = −(∑∆mi zi xi )ωx −(∑∆mi zi yi )ωy + (∑∆mi (x i2 + yi2 ))ωz .

L = Iω, где I – некоторая матрица, которая называется тензором момента инерции.

∑∆mi (yi2 + zi2 )

I= − ∑∆mi yi x i

−∑∆mi zi x i

−∑∆mi x i yi ∑∆mi (x i2 + zi2 )

−∑∆mi zi yi

− ∑∆mi x i zi

− ∑∆mi yi zi =

∑∆mi (x i2 + yi2 )

I xx	I xy	I xz
I xx	I xy	I xz
I yx	I yy	I yz	;
I zx	I zy	I zz

I xx = ∑∆mi (yi

+ zi

)

I yy

= ∑∆mi

(x i2 + zi2 ) – осевые моменты инерции (обычные моменты инерции относи-

∑

∆m

(x 2

+ y

2 )

тельно осей);

I xy = I yx = −∑∆mi x i yi

I yz

= I zy

= −∑∆mi yi zi

– центробежные моменты инерции.

= I

= −

∑

∆m

ПРИМЕР

Вращение материальной точки

	z			m(y2 + z2 )	− mxy
	z			m(y2 + z2 )	− mxy
			L =	− myx	m(x2 + z2 )
ω				− mzx	− mzy
ω		mv	L x = −mxz ωz ,
			L x = −mxz ωz ,
			L y = −myz ωz ,
			L y = −myz ωz ,
	r		L z = m(x 2 + y2 )ωz .
	r	y

x
x
			ПРИМЕР

− mxz

− myz (ωx ,ωy ,ωz ); m(x2 + y2 )

L || ω

z	Две материальные точки, которые вращаются по
ω	окружности (расположены симметрично)
ω	ω= 0 i +0 j+ωz k ,

m	m	v	2m(y2 + z2 )
		I =	0
v

0	0
2m(x 2 + z2 )	0	,
0	2m(x 2 + y2 )

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 2014 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.09.2019624.13 Кб2Мой типовой по АТП.doc
#
19.09.20194.71 Mб17МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИИ ИНСТИТУТ.doc
#
31.03.20153.11 Mб23моя курсовая по ОВЭД.doc
#
31.03.2015317.95 Кб110МП.Введение в курс ОИ.Last.doc
#
31.03.2015939.52 Кб13МПЭис.doc
#
31.03.201540.05 Mб1084МЭИ(ТУ) Физика.pdf
#
31.03.201587.04 Кб290Н.Бердяев. Воля к жизни и воля к культуре.doc
#
16.04.201911.74 Mб70На изготовку.doc
#
19.09.2019810.5 Кб4НВИЭ, подредактированные.doc
#
13.03.20161.35 Mб10Незовитина_Экология_Практикум.pdf
#
31.03.2015261.12 Кб30Нечеткая байесова сеть.doc