27.Достаточные услов локальн экстрем ф-ций нескол перемен.
При
формулир достаточн услов локал экстрем
ф-ции перемен важн роль играет 2-дифференц
в точке М0 :
,
где
=aji=
.
Опред:Квадрат формой наз знако-перемен
определ, если она явл либо положит либо
отриц определ. Опред: квалрат форма наз
знако-перемен если она приним как строго
положит так и отрицат значения. Опред:
матрицей квадрат формы наз матрица:
А=
.
Если все элем матрицы удовл условию:
=aji,
то такая матрица наз симметрической.
Главными минорами симметрической
матрицы наз определ:A1=a11, A2=
;
An=
.
Теор о достат услов локал экстрем:
пусть ф-ция u= f(x1,x2…xn), один раз дифференц
в некоторой окрестн М0(
,
…
)
и дважды дифференц в самой точке М0.
Пусть М0 явл стационарн точкой ф-ции u=
f(x1,x2…xn), тогда если второй дифференц
этой ф-ции представл собой полож(отриц)
определ квадр ф-мы от dx1,dx2..dxn ,то ф-ция
в точке М0 имеет локал min(max), если же 2-ой
дифференц этой ф-ции представл собой
знако-перемен квадр ф-му, то и не имеет
локал экстрем в М0. Замеч: пусть частн
производ 2-го порядка ф-ции: u=f(x,y) в точке
М0(
,
)
будут:
=A;
=C;
M0=B.
Пусть u=f(x,y) один раз дифференц в окрестн
M0 и дважды дифференц в самой точке М0,
тогда если в М0 выполн услов: AC-B2>0 то
u=f(x,y) имеет в М0 локал max, если A>0 то в
М0 ф-ция имеет локал min, если же в М0 ф-ция
имеет AC-B2<0 , то u=f(x,y) не имеет в этой
точке локал экстремума ф-ции.
28. Критерий Сильвестра
Теорема
2 (критерий Сильвестра) Для того, чтобы
квадратичная форма
была положительно определенной,
необходимо и достаточно, чтобы все ее
главные миноры были положительны:
,
.
Для
того чтобы квадратичная форма
была отрицательно определенной,
необходимо и достаточно, чтобы знаки
главных миноров ее матрицы чередовались
следующим образом:
,
,
,
29.Определение наибольшего и наименьшего значения
функции в замкнутой области.
Пусть задана ф-я z=f(x,y) в замкнутой области Д.
F(x,y)=0 уравнение границы Д.
Требуется найти наибольшее и наименьшее
значения ф-ции в этой области.
Эти значения функция может достигать либо в
экстремальных точках внутри области, либо на границе
области, поэтому решение задачи делится на 2 этапа:
1.Сначала находим стационарные точки внутри области.
В этих тосках возможны экстремумы. Вычисляем
зачение заданной функции в этой точке.
2.Определяем наиб. и наим. Значение функции на
границе области.3.Сравниваем полученное значение
и выбираем наиб. и наим. знач.
30.Не явные ф-ции.
При решении различ физич задач приход сталкив с ситуац когда U=U(x1...xn) задаётся по средств функц-го Ур: F(U, x1...xn)=0 в этом случае говор что U как ф-ция аргум x1...xn задана не явно. Возник вопрос о том при каких услов функцион урав однознач разрешима относит U т.е. однозн опред явную ф-цию U=(x1...xn) а также эта явная ф-ция непрерыв и дифернцируема.
31.Теорема о существ и диф-ти неявной ф-ции.
Пусть F(U, x1.x2) диф в некотр М0(U0,x10,х20) простр R3 причём частная произв ∂F∕∂U непрер в М0 тогда если М0 F(U, x1.x2) обращ в 0 а ∂F∕∂U|м0≠0 то для любого достаточн малого ε>0 найдётся такая окресн М0’(x1’,x2’) пренадл R2 что в предел этой окр един ф-ция сущ U=f(x1,x2) котор удовлетв услов :|U-U0|<ε и явл решен урав F(U, x1.x2)=0 причём эта U=f(x1,x2) непр и диф-ма в указан окрес М0’ .