40. Признак сравнения рядов

(признак Дирихле) Пусть

1) последовательность монотонна и,2) последовательность сумм,, ограничена. Тогда рядсходится.

(признак Абеля) Пусть

1) последовательность ограничена и монотонна, 2) рядсходится. Тогда рядсходится.

(признак Коши) Пусть для ряда () существует предел. Тогда прирядсходится, а прирядрасходится.

(признак сравнения) Пусть для членов рядов исправедливо неравенство. Тогда:1) если рядсходится, то и рядсходится, 2) если рядрасходится, то и рядрасходится

(интегральный признак Коши) Если неотрицательная интегрируемая функция на промежуткемонотонно убывает, и члены рядаимеют вид, то ряди несобственный интегралсходятся или расходятся одновременно, причем в случае сходимости имеет место неравенство:

41.Признак Даламбера.

Пусть дан ряд ,, если существ:, то данный ряд сход при q<1, и при q>1 расход. Д-во: равенс:, означ чтоN, что при n>N, будет; q-рассмотр 2 случая: 1) q<1 выбертак, чтобытогда:или an+1<() an – при n>N, пологая n=N+1, N+2.. получ an+2<an+1); an+3<an+2() an+1<); an+4<an+3() <an+2(); след начин с n+2 все члены ряда не превосх соотв членов геометр прогрессии, котор сход:<1 поэт сход и данный ряд; 2) пусть q>1 выбертак, чтобы, тогда, an+1>(q-an это означ что начин с номера N+1 все члены ряда возраст в этом случ не выполн необход признак сход и значит ряд расходится.

42.Признак Коши.

Пусть дан ряд ,, если сущ, то данный ряд сход при q<1 и при q>1 расход. Д-во: услов,означ чтоN, что при n>N, будетили отсюда q-

Рассм две ситуации:1) q<1 выбер так чтобы, тогдаи)n, следов каждый член ряда начин с номера N+1 меньше соотв члена сходящ геометр прогрессии, поэтому данный ряд сход; 2) пусть q>1 выбертак, чтобы, тогда,)n, тоесть начин с номера N+1 члены ряда возрастают в этом случ не вып необход признак сход ряда и данный ряд расход.

43. Интегральный признак Коши

Если неотрицательная интегрируемая функция на промежуткемонотонно убывает, и члены рядаимеют вид, то ряди несобственный интегралсходятся или расходятся одновременно, причем в случае сходимости имеет место неравенство:

44. Признак Лейбница

Пусть члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям:

1) ;2).

Тогда ряд сходится, а его суммане превосходит первого члена, т. е..

45. Абсолютная сходимость рядов

Пусть дан ряд =а1+а2+…, членами которого явл. действительные ч-ла любого знака. Рассм. ряд, составленный из модулей членов данного ряда=а1+а2+…

Теорема. Если ряд сходится, то сходится и ряд.Рядназывается абсолютно сходящимся, если ряд с неотрицательными членамисходится.Если рядсходится, а рядрасходится, то рядназывается условно сходящимся.

Замечание. Для того, чтобы ряд был абсолютно сходящимся необх. и достаточно, чтобы ряды составленные только из положит. и только из отриц. Его членов были сходящимися.

46. Признаки Дирихле и Абеля

Для исследования сходимости знакопеременных рядов часто используются признаки Дирихле и Абеля.Теорема (признак Дирихле) Пусть

1) последовательность монотонна и,2) последовательность сумм,, ограничена.

Тогда ряд сходится.

Теорема 6 (признак Абеля) Пусть

1) последовательность ограничена и монотонна,

2) ряд сходится.

Тогда ряд сходится.