94.Признаки Дини, Липшица равномерной сходимости рядов Фурье.

Признак Дини: тригонометрический ряд Фурье функции f(x) непрырывной в промежутке стемиться к ней равномерно в этом промежутке, если при некотором

для всех dt стремиться равномерно относительно x ,где

Признак Липшица:

тригонометрический ряд Фурье функции f(x) стремиться к этой функции равномерно в промежутке ,если в некотором более широком промежуткевыполняется условие:

,где x,-любые точки принадлежащие

C,-положительные постоянные

Апроксимационная теорема Вейерштрасса

Если функция f(x) непрырывна на ,то каково бы нибыло числонайдёться такой тригонометрический многочлен

,что равномерно относительно всех знач x в промежутке

Теорема: если функция f(x) непрырывна в промежутке многочлен P(x)=+c1x+…+cnxn, что равномерно для всех значений x в промежуткебудет

96. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье.

Рассмотрим произвольную функцию f(x) с периодом 2,обсалютно интегрированную в любом конкретном промежутке и пусть эта функция разлогаеться в ряд Фурье:

,определяется формулами:

, k=0,1,2,3…

dx, k=1,2,3…

Т.к.

то при замене

-комплексная форма ряда Фурье функции

,

=du, k=0,1,-1,…

97.Преобразования Фурье

F(z)=du; i=

f(x)=dz;

x

функциz F(z),которая соотвествует f(x) называется преобразованием Фурье

Функцию f(x)=можно рассмотреть как интегральное уравнение относительно неизвестной функции F(z),стоящей под знаком интеграла

Если она выполняеться для всех положительных значений x, то её можно представить в виде суперпозиции следующих 2-х формул:

,

,

Fc(z) наз. косинус преобразованием функции f(x).

Аналогично для формулы:

f(x)=

Fs(z)=

f(x)=

Fs(z) наз. синус преобразованием Фурье функции f(x).Функции Fs(z) взаимно являются синус или косинус преобразованиями. В случае чётной функции f(x) F(z)=(назнач. zраспростр. чётным образом).

В случае нечётной функции f(x) F(z)=iFs(z) (yf случай zфункция распростр. чётным образом).

В общем случае функция f(x) разлогается на сумму чётных и нечётных функций

-чётная

h(x)=—нечётная

F(z)=Gc(z)+iHs(z)-преобразование Фурье

Gc(z)- косинус преобразование функции

98.Cвойства преобразования Фурье.

1. Если функция f(x) обсалютно интегрируема в промежутке ,то функцияdu непрырывна во всём этом промежутке и f(x) стремиться к 0,при x

2.если функция ,где n-натуральное число, обсалютно интегрируема в промежутке,то функцияимеет n послед.,которые при xстремяться к 0

3.если функция f(x) и её послед. N-1 производных стремящихся к 0, при xn-ая производная

обсалютно интегрируема в промежутке ,то

дифференциальные свойства функции f(x) в основном определяют поведение функции на бесконечности. И наоборот по диф-м свойствамможно судить о поведении функциина

бесконечности.