10.Непрерывность функции нескольких

Функция U=f(х₁х₂..хn)наз. непрерывной в точке М (х₁х₂..хn) по переменной , если частное приращение Δ U этой функции в точке М представляет собой бесконечно малую функцию т.е . При фиксированных значениях всех переменных кроме переменной функции U=f(х₁х₂..хn) представляет собой функцию одной переменной . поэтому непрерывность функции по переменной означает непрерывность указанной функции одной переменной. Из условия непрерывности функции в данной точке М вытекает непрерывность этой функции в точке М по каждой из переменных х₁х₂..хn.

11. Основрые свойства непрерывных функций нескольких переменных

1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД НЕПРЕРЫВНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Если ф-ии f(x) и g(x) определены на одном и том же множ-ве {M} и непрерывны в каждой точке А этого множ-ва, то ф-ии так же непрерывны в точке А.

2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ СЛОЖНОЙ Ф-ИИ

Введем понятие сложной ф-ии нескольких переменных. Пусть ф-ии , …,заданы на множ-ве {N} евклидово пр-ва.- коор-ты точек в этом пр-ве. Тогда в каждой точкестановится в соответствие точка M с коор-мипр-ва пр-ва. Пусть {М} множ-во всех таких точек. Пусть- ф-ии n-переменных, заданная на множ-ве {М}. Тогда говорят, что на множ-ве {N} евклидово пр-ваопределена сложная ф-ия, гдеявл ф-ями переменных.

ТЕОРЕМА

Пусть ф-ии (1)

Непрерывны в точке , а ф-иянепрерывна в точке, где, i=1,2, …, n.

3. ТЕОРЕМА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЗНАКА НЕПРЕРЫВНОЙ Ф-ИИ

Если ф-ия непрерывна в точке А пр-ваи, то сущ такая-окрестность точки А, в пределах которой ф-ия не обращается в 0 и имеет знак совпадающий со знаком.

4. ТЕОРЕМА О ПРОИСХОЖДЕНИИ НЕПРЕРЫВНОЙ Ф-ИИ ЧЕРЕЗ ЛЮБОЕ ПРОМЕЖУТОЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ

Пусть ф-ии непрерывна во всех точках связного множ-ва {М} евклидово пр-ва, причем,значение этой ф-ии в точках А и В этого множ-ва. Пусть любое число, заключенное между, тогда на любой непрерывной кривойб соединяющей точки А и В, и целиком расположенной во множ-ве {М} найдется N, что.

5. ОГРАНИЧЕННОСТЬ Ф-ИИ НЕПРЕРЫВНОЙ НА ЗАМКНУТОМ ОГРАНИЧЕННОМ МНОЖ-ВЕ

ТЕОРЕМА(первая теорема Вейерштрасса)

Если ф-ия непрерывна на замкнутом ограниченном множ-ве М, то она ограничена на этом множ-ве.

6. ДОСТИЖЕНИЕ Ф-ИЕЙ НЕПРЕРЫВНОЙ НА ЗАМКНУТОМ ОГРАНИЧЕННОМ МНОЖ-ВЕ СВОИХ ТОЧНЫХ ГРАНЕЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Точной верхней гранью ф-ии на множ-ве {М} наз такое число, которое удовлетворяет условиям:

1. для все точек множ-ва {М}.

2. найдется хотя бы одна точка М множ-ва {М}, для которой и обозначается

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Точной нижней гранью ф-ии на множ-ве {М} наз такое число, которое удовлетворяет условиям:

1. для все точек множ-ва {М}.

2. найдется хотя бы одна точка М множ-ва {М}, для которой и обозначается

ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА

Если ф-ия непрерывна на замкнутом ограниченном множ-ве {М}, то она достигает на этом множ-ве своих верхней и нижней граней.

7. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ Ф-ИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Ф-ия наз равномерно-непрерывной на множ-ве {М} евклидово пр-ва, если дляможно указать такое, что для любых двух точек M’, M’’ из множ-ва {М}, удовлетворяющих условиювыполняется нер-во.

ТЕОРЕМА КАНТОРА

Непрерывная на замкнутом ограниченном множ-ве ф-ия равномерно-непрерывна на этом множ-ве.