55.Криволинейный интеграл I рода:

Криволин. интегралом 1рода наз-ся предел (если он существует) интегр. суммы ,прии обознач.=. Подынтегральная ф-ияназ-ся интегрируемой вдоль кривой, кривая– контуром интегрирования,и– начальной и конечной точками интегрирования,– дифференциал дуги.

56.Сведение криволинейного интеграла первого рода к определенному.

Предположим, что на кривой К произвольно установлено направление одно из двух возможных так, что положение т.М на кривой может быть определено длиной дуги S=AM отсчитываемой от начальной точки А. Тогда кривую К можно задать параметрически уравнениями вида {x=x(S') y=y(S’)

Где 0≤s≤S. S – Длина кривой К.

Функция f(x,y) заданная в точке М кривой сводится к сложной функции f(x(S’),y(S’) переменной S тогда  =.

Предположим, что кривая К задана произвольными параметрическими уравнениями

α≤t≤β функции x(t), y(t) непрерывны со своими производными x’, y’ .

В этом случае кривая К спрямляема и если возрастание дуги S=AM соответствует возрастанию параметра t, то

dS=dt и

Если кривая К задана уравнениями в непрямых координатах, а именно r=r()

То

57.Криволинейный интеграл II рода:

Криволин.интегралом 2-го рода по кривой от ф-ийиназ-ся предел (если он существует) приинтегральной суммы,и обозначается. Криволинейный интеграл 2-го рода можно записать в виде

.

58Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода сводится к вычислению определенного интеграла.

Параметрическое представление кривой интегрирования. Пусть кривая

задана параметрическими уравнениями,,,гдеи– непрерывно дифференцированные функции параметра, причём точкесоответствует, точке– значение,. И пусть функции

и непрерывны на

кривой . Тогда криволинейный интеграл 2-го рода вычисляется по формуле:.

Явное представление

кривой интегрирования.

Пусть кривая задана уравнением, где функцииинепрерывны на отрезке. Тогда

криволинейный интеграл 2-го рода вычисляется по формуле:

.

59.Случай замкнутого контура:

Пусть – замкнутая криваяНаправл-ие обхода наз-ся положит, если обл-ть, лежащая внутри контура остается слева по отношению к точке, совершающей обход. Противопол. напр-ие наз-ся отрицат. Интеграл по замкнутому контурув положит. напр-ии обозначается:

60.Вычисление площади с помощью криволин. Интеграла

Рассм. фигуру Д,ограниченную отрезками PS,QR

прямых параллельные оси Y и двумя кривыми PQ и SR,

.

Рассм. площадь S фигурой,как разность 2-х криволин.

трапеций и,получим:

,

с другой стороны:

.

Следов-но площадь:

.Если прибавить сюда и

т.к.они взяты по отрезкам

параллельно в оси Y,то рав-во не нарушится.

Следов-но: .

Если обозначить контур PSRQP через L,то

.При правой ориентации осей получим: .

Для фигуры ограниченной прямолинейными

отрезками PQ,RS параллельным оси X,и

двумя прямыми

,с помощью анологичных

рассуждений получается формула: .

Таким образом .

На практике применяется симметричная формула: