12. Частные производные ф-ии нескольких переменных

Пусть внутренняя точка области задания ф-ии. Рассм в данной фиксированной точке М отношение частного приращении як соотв-му приращению

(1)

Это отношение представляет собой ф-ию от , для которой точкапринадлежит области определения ф-ии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если сущ предел отношения (1) частного приращения ф-иив точке М к соотв-му приращениюаргумента, то этот предел наз частной производной ф-иив точкепо переменнойи обозначаетсялиболибо. Т.е.частная производная.

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Частная производная ф-ии по аргументупредставляет собой обычную производную ф-ии одной переменной при фиксированных значениях остальных переменных. Поэтому вычисляются частные производные по обычным правилам вычисления производных ф-ий одной переменной.

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Из существования у ф-ии в данной точке всех частных производных вообще говоря не следует непрерывность ф-ии в этой точке.

13. Дифференцируемость ф-ии нескольких переменных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Ф-ия наз диф-ой в данной точке, если ее полное приращение в этой точке может быть представимо в виде, где- некоторые независящие отчисла,- б.м. при,, …,ф-ии, равные нулюУказанные соотношения наз условием диф-сти ф-ии нескольких переменных в данной точке М. это условие может быть записано также в другой форме. Для этого рассмотрим бесконечно малую при,, …,ф-ию. Эта ф-ия обращается в 0 лишь при. Покажем, что суммапредставляет собой б. м. ф-ию высшего порядка, чем, т.е., что сумма есть, присправедливо нер-во. Поэтому. Если хотя бы одно из чиселотлично от 0, то суммапредставляет собой главную линейную относительно приращения аргумента часть приращения дифференциала ф-ии n.

ТЕОРЕМА

Если ф-ии дифференцируемы в точке, то в этой точкечастные производные по всем аргументам, причем частн. произв., гдеопределяется из условия диф-сти ф-ии.

ДОК-ВО:

Из условия диф-сти ф-ии в точке М следует, что ее частное приращениев этой точке имеет видпоэтомупоэтому. Из этой теоремы получаем

СЛЕДСТВИЕ 1

Условие диф-сти ф-ии в данной точке М может быть записано в виде

СЛЕДСТВИЕ 2

Если ф-ия диф-ема в т.М, то представлениев указанной форме единственно.

ЗАМЕЧАНИЕ

Если ф-ия диф-ема в т.М, то она и непрерывна в этой точке.

14. Дифференциал функции нескольких переменных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциалом ф-иив точкеназ главная линейная относительно приращения аргументов часть приращения этой ф-ии в точке М. если все коэф-тыв представлении, то диф-алф-ии в точке М считается равным 0. Таким образом диф-алф-иив точке имеет след выражение. Под диф-ломнезависимой переменнойбудем понимать любое независящее отчисло и будем брать это число равным приращениюнезависимой переменной. В результате получаем, что диф-ал ф-ииопределяется след выражением.

15. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных

Если ф-ия имеет частные производные по всем аргументам в окрестности т.причем все эти частные производные непрерывны в самой т., то указанная ф-ия дифференцируема в точке.

Ф-ии с непрерывными частными производными наз непрерывно дифференцируемыми.