- •ВВЕДЕНИЕ
- •§ 1. Матрицы и простейшие операции над ними
- •Операции над матрицами
- •§ 2. Определители, их основные свойства и методы вычисления
- •2.1 Определители второго порядка
- •Свойства определителей второго порядка
- •2.2 Определители третьего порядка
- •2.3 Понятие об определителях высших порядков
- •§ 3. Обратная матрица и ее вычисление
- •4.2 Метод Крамера
- •4.3 Метод Гаусса
- •§ 5. Векторы, линейные операции над векторами
- •Линейные операции над векторами
- •§ 6. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях
- •§ 7. Линейная зависимость векторов. Базис
- •7.1 Базис на плоскости и в пространстве
- •7.2 Прямоугольный Декартов базис. Декартова система координат
- •7.3 Направляющие косинусы вектора
- •7.4 Радиус-вектор
- •7.5 Условие коллинеарности двух векторов
- •7.6 Простейшие задачи
- •§ 8. Скалярное произведение векторов
- •8.2 Косинус угла между векторами
- •§ 9. Векторное произведение векторов
- •§ 10. Смешанное произведение трех векторов
- •§ 2. Прямая на плоскости
- •2.1 Общее уравнение прямой и его исследование
- •2.4 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •2.6 Уравнение прямой в отрезках
- •2.7 Нормальное уравнение прямой
- •2.8 Расстояние от точки до прямой
- •§ 3. Плоскость
- •3.1 Общее уравнение плоскости
- •3.2 Неполные уравнения плоскости
- •3.3 Уравнения плоскости в отрезках
- •3.4 Нормальное уравнение плоскости
- •3.6 Расстояние от точки до плоскости
- •§ 4. Прямая в пространстве
- •4.1 Уравнение линии в пространстве
- •4.2 Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой
- •4.3 Канонические уравнения прямой
- •4.4 Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •4.6 Прямая и плоскость в пространстве
- •§ 5. Плоские кривые второго порядка
- •5.1 Окружность
- •5.2 Эллипс
- •5.3 Гипербола
- •5.4 Парабола
- •§ 6. Преобразование системы координат на плоскости
- •6.1 Параллельный перенос осей координат
- •6.2 Поворот осей координат на угол α
- •§ 7. Полярная система координат на плоскости
- •8.1 Сфера
- •8.2 Цилиндрические поверхности
- •8.3 Конические поверхности
- •8.4 Поверхность вращения
- •8.5 Эллипсоид
- •8.6 Гиперболоид
- •8.7 Параболоид
- •Глава III МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •§ 1. Логическая символика, множества и операции над ними
- •§ 2. Функции и их классификация
- •Элементарные функции
- •§ 3. Абсолютные величины и соотношения, связанные с ними
- •Свойства модуля действительного числа
- •§ 4. Последовательность. Характер изменения переменных величин
- •§ 5. Понятие о пределе переменной
- •§ 6. Окрестность точки
- •§ 7. Предел функции в точке
- •§ 8. Односторонние пределы функции в точке
- •§ 9. Свойства функций, имеющих предел
- •§ 10. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •§ 11. Основные теоремы о пределах
- •§ 12. Предел дробно-рациональной функции
- •§ 13. Первый замечательный предел
- •§ 14. Второй замечательный предел
- •§ 15. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 16. Непрерывность функции
- •§ 17. Операции над непрерывными функциями
- •§ 18. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •§ 19. Производная функции одной переменной
- •19.2 Основные свойства производной
- •19.3 Производная сложной функции
- •19.4 Производная обратной функции
- •19.5 Производная функции, заданной параметрическими уравнениями
- •19.6 Геометрический смысл производной
- •19.7 Уравнения касательной и нормали к линии
- •19.8 Дифференцирование элементарных функций
- •19.9 Производная степенно-показательной функции
- •19.10 Дифференцирование неявной функции
- •19.11 Производные высших порядков
- •19.12 Правила Лопиталя
- •19.13 Основные теоремы для дифференцируемых функций
- •19.14 Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •19.15 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •19.16 Выпуклость и вогнутость функции
- •19.17 Формула Тейлора
- •§ 20. Дифференциал функции одной переменной
- •20.1 Дифференциал и его геометрический смысл
- •20.2 Свойства дифференциала функции
- •20.3 Дифференциал сложной функции. Свойство инвариантности
- •20.4 Приближенное вычисление с помощью дифференциала
- •20.5 Дифференциалы высших порядков
- •§ 21. Функции многих переменных
- •21.1 Понятие функции нескольких переменных
- •21.2 Непрерывность функции двух переменных
- •21.3 Дифференцирование функции двух переменных
- •21.5 Полный дифференциал функции двух переменных
- •21.6 Приближенное вычисление с помощью полного дифференциала
- •21.7 Производные высших порядков функции двух переменных
- •21.9 Неявная функция. Дифференцирование неявной функции
- •21.10 Градиент функции многих переменных и его свойства
- •21.11 Экстремум функции нескольких переменных
- •ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ
- •КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
- •Вариант 1
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант 2
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант 3
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант 4
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант 5
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант 6
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант 7
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант 8
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант 9
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант 10
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Список рекомендуемой литературы
29
§ 7. Линейная зависимость векторов. Базис
Определение. Векторы a1 , a2 , …, ak называются линейно зависимыми, если существуют числа λ1 , λ2 , …, λk , не все равные нулю, для которых имеет место равенство
|
|
|
|
|
λ1 a1 + λ2 a2 +... + λk ak |
= 0 . |
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||
Векторы a1 , ar2 , …, ak |
называются линейно независимыми, если равен- |
||||||||||||||||||||
ство (1) имеет место только при условии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
λ1 = λ2 = ... = λk |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из равенства (1), предполагая, например, λ1 ≠ 0 , получим |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ar |
= − λ2 ar |
2 |
− |
λ3 ar |
−... − λk ar |
= μ |
2 |
ar |
+ μ |
3 |
ar |
3 |
+... + μ |
k |
ar |
k |
(2) |
||||
1 |
λ |
|
λ |
3 |
|
λ |
k |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение |
μ2 a2 |
+ μ3 a3 +... + μk ak |
называется линейной комбина- |
||||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цией векторов a2 , a3 , …, |
ak . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, если несколько векторов линейно зависимы, то хотя бы один из них всегда можно представить в виде линейной комбинации остальных.
Справедливо и обратное: если один из векторов представлен в виде линейной комбинации других векторов, то все эти векторы линейно зависимы.
Теорема 1. Всякие три вектора на плоскости a , b и cr линейно зави-
симы.
Доказательствоr . 1) Среди векторов имеется пара коллинеарных, например, ar и b . Тогда имеем
r ar = λb , или ar = λ b + 0 cr, т.е. a есть линейная комбинация векторов b и cr, следовательно, a , b , c линейно зависимы.
2) Среди данных векторов нет ни одной пары коллинеарных. Допустим, что
все три вектора имеют общее начало – точку O (рис. 1.11). |
r |
||||||||
|
|
C |
|
M |
|
Покажем, что вектор a можно пред- |
|||
|
|
|
|
ставить в виде суммы двух векторов, один |
|||||
cr |
|
ar |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
из которых коллинеарен вектору b , а дру- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
гой – вектору c . Для этого через точку M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(конец вектора a ) проведем прямые, па- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
O |
|
b |
B |
|
раллельные векторам br |
и cr, до их пере- |
|||
|
|
|
Рис. 1.11 |
|
сечения в точках B и C с прямыми, на ко- |
||||
|
|
|
|
торых соответственно расположены век- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
торы b и cr. Имеем очевидное равенство |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
OM = OB+OC . |
|
||
|
→ |
|
→ |
|
|
|
соответственно b и cr, |
→ |
|
Т.к. OB |
и OC |
коллинеарны |
то OB = λ1 br и |
30
→ = λ r
OC 2 c . Поэтому
т.е. ar является линейной комбинацией векторов b и c , следовательно, a , b и cr линейно зависимы.
Следствие 1. Если число данных векторов на плоскости больше 3, то они линейно зависимы.
Доказательство. Пусть даны векторы a1 , a2 , …, ak , k > 3. По теореме 1
имеем
a1 = μ1 a2 + μ2 a3 .
Значит
a1 = μ1 a2 + μ2 a3 + 0 a4 +... + 0 ak ,
следовательно, данные векторы линейно зависимы.
Теорема 2. Для того, чтобы два вектора a и b были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарны.
Следствие 2. Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.
Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Теорема 3. Всякие четыре вектора a , b , c и dr в пространстве линейно зависимы.
Доказательство. Допустим, что рассматриваемые векторы имеют общее начало. Для того, чтобы показать их линейную зависимость, достаточно убедиться в том, что один из векторов является линейной комбинацией остальных. Возможны два случая.
1) Среди данных векторов существует тройка компланарных, например, a , b
|
|
M3 |
|
и c . Т.к. эти векторы лежат в од- |
||
|
|
|
ной плоскости, то по теореме 1 |
|||
|
|
|
|
M |
ar = λ1 b + λ2 cr. |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
dr |
ar |
|
ar = λ1 br + λ2 cr + 0 d , |
||
|
r |
|
|
|
r |
r |
|
b O |
cr |
M 2 |
следовательно, a , b , |
c и d линей- |
|
|
но зависимы. |
|
||||
|
|
|
|
|
2) Среди данных векторов нет ни |
|
M1 |
|
|
|
|||
|
|
|
одной тройки компланарных век- |
Рис. 1.12 |
торов. В этом случае вектор |
a мо- |
|
|
31
жет быть представленr вrвиде суммы трех векторов, коллинеарных соответст-
венно векторам b , cr и d .
Строим плоскости, проходящие через точку M (конецrвектораr a ), параллельные плоскостям, определяемым (b и cr ), (cr и d ), (b и d ). Получим
|
|
→ |
r |
(рис. 1.12). Очевидно, |
|
|
параллелепипед с диагональю OM = a |
|
|||||
|
r |
→ |
→ |
→ |
→ |
|
Следовательно, ar = λ1 br |
a |
= OM = OM1 |
+OM 2 |
+OM3 . |
|
|
+ λ2 cr + λ3 d . |
|
|
||||
|
|
Следствие 3. Если число векторов в пространстве больше четырех, то они линейно зависимы.
Теорема 4. Для того, чтобы 3 вектора в пространстве были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны.
Следствие 4. Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем.
7.1 Базис на плоскости и в пространстве
Определение. Базисом на плоскости называются два любых линейно независимых вектора.
Из теоремы 2 следует, что два любых неколлинеарных вектора образуют на плоскости базис.
Пусть b и cr образуют на плоскости базис. Тогда для любого вектора плоскости ar имеем
|
|
|
ar = λ1 b + λ2 cr. |
|
(3) |
|
|||
r |
Соотношение (3) называют разложением вектора ar по базису векторов |
||||||||
r |
λ1 |
|
|
|
|
r |
|||
b |
и c , а числа |
и λ2 – аффинными координатами вектора a : |
|||||||
|
|
|
|
a = {λ1; λ2 }br, cr . |
|
|
|
|
|
|
Теорема 5. |
Разложение вектора a по базису векторов b и cr является |
|||||||
единственным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
Допустим, что наряду с разложением (3) имеет место раз- |
||||||||
ложение |
|
ar = μ1 b + μ2 cr. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(4) |
|
||||
Вычитая почленно из соотношения (3) соотношение (4), получаем |
|||||||||
|
|
|
0 = (λ − μ ) b + (λ − μ |
2 |
) cr. |
||||
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
Т.к. векторы b |
и cr линейно независимы, |
то λ1 − μ1 = 0 и λ2 − μ2 = 0 , а зна- |
|||||||
чит μ1 = λ1 , μ2 |
= λ2 , следовательно, разложение (3) единственно. |
|
|
||||||
|
32
Определение. Базисом в пространстве называются три любых ли-
нейно независимых вектора.
Из теоремы 4 следует, что всякие 3 некомпланарных вектора образуют в пространстве базис. Как и в случае плоскости, любой вектор пространства
ar однозначно разлагается по базису b , c и d :
ar = λ1 b + λ2 cr + λ3 d .
Числа λ1 , λ2 , λ3 называются аффинными координатами вектора a :
a= {λ1; λ2 ; λ3}br, cr, dr .
7.2Прямоугольный Декартов базис. Декартова система координат
Рассмотрим в пространстве три вектора i , j , k , которые имеют еди-
ничную длину и попарно перпендикулярны. Т.к. они некомпланарны, то образуют в пространстве базис, который называют прямоугольным или Декартовым базисом. Пусть точка O – общая на-
|
z |
|
|
|
чальная точка базисных векторов. Построим |
||||||||||
|
|
|
|
|
три координатные оси Ox , Oy и Oz , положи- |
||||||||||
|
k |
|
|
|
тельные направления которых задаются век- |
||||||||||
r |
|
|
|
торами i , j , и k |
соответственно (рис. 1.13). |
||||||||||
i |
r |
y |
|
|
Полученная |
система |
координат называется |
||||||||
|
j |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
прямоугольной Декартовой системой коор- |
||||||||||
x |
Рис. 1.13 |
|
|
|
динат в пространстве. Для любого вектора |
||||||||||
|
|
|
|
пространства a справедливо следующее раз- |
|||||||||||
|
z |
|
|
|
ложение (рис. 1.14): |
|
|
|
|||||||
M 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
→ |
→ |
→ |
|
||
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
a = OM1 + M1P+ PM . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. M1P = OM 2 и PM = OM 3 , то |
|
|||||||||
O |
|
M 2 |
|
|
|
|
|
|
|
r |
→ |
→ |
→ |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M1 |
|
|
|
|
|
|
|
a = OM1 +OM 2 +OM 3 . |
|
||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
и |
→ |
со- |
||
x |
|
|
|
Векторы OM1 , |
OM 2 |
OM3 являются |
|||||||||
|
|
|
|
ставляющими вектора a по осям Ox , Oy , |
Oz . |
||||||||||
Рис. 1.14 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
→ |
|
|
OM1 |
|
|
r |
|
→ |
r |
|
r |
|
|
|
|
OM1 |
= |
|
|
i |
= прOx OM i |
= ax i , |
|
|
|||||
|
|
→ |
|
|
OM 2 |
r |
= прOy |
→ |
r |
|
r |
|
|
||
|
|
OM 2 |
= |
j |
OM |
j |
= ay j |
, |
|
||||||
|
|
OM |
3 |
= OM3 kr = прOz |
OM kr = az kr. |
|
|||||||||
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
Отсюда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ar = ax i + ay j + az k . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(5) |