1)вычислить значение функции в точке B ;

2)вычислить приближенное значение z1′ функции в точке B , исходя из значения z0 функции в точке A и заменив полное приращение функции при переходе от точки A к точке B полным дифференциалом;

3)оценить в процентах относительную погрешность, полученную при

замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности

z = 2xy + y2 −5x в точке C(3; 4; z(3; 4)) .

Вариант 10

Контрольная работа № 1

1. Даны вершины A(−6; 5) , B(6; 0) , C(9; 4) треугольника. Требуется найти:

1)длину стороны BC ;

2)площадь треугольника ABC ;

3)уравнение стороны BC ;

4)уравнение высоты, проведенной из вершины A ;

5)длину высоты, проведенной из вершины A ;

6)угол B в радианах с точностью до 0,01.

Сделать чертеж.

2. Составить уравнения сторон треугольника, если известно, что ее серединой является точка P(−1; −1) , а две другие стороны треугольника задаются

уравнениями 5x − 2 y −5 = 0 и 3x − 2 y −7 = 0 .

3. Точки A(1; 2) и C(3; 6) являются противоположными вершинами квадрата. Определить координаты двух других вершин квадрата.

166

4. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки F(0; −1) втрое больше, чем от прямой y +9 = 0 . Сделать чертеж.

5. Через фокус параболы y2 = 8x и через ту ее точку, абсцисса которой равна 0,5 , а ордината положительна, проведена прямая. Вычислить расстояние от центра окружности x2 + y2 + 6x + 4 y −3 = 0 до этой прямой. Сделать чертеж.

6. Дано уравнение параболы y2 −3x +10 y +16 = 0 . Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравнение параболы приняло вид x2 = ay или y2 = ax . Построить обе системы координат и параболу.

7. Решить систему линейных алгебраических уравнений:

3x + y + 2z − 4 = 0,2x + y + 2z −3 = 0,

x + 2 y +5z − 4 = 0,

а) используя правило Крамера; б) используя матричный метод; в) используя метод Гаусса.

8. Даны векторы ar ={7; 2; 1}, b ={4; 3; 5}, c ={3; 4; − 2}, d ={2; −5; −13} в

некотором базисе. Показать, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

9. Даны вершины A1 (6; 6; 2) , A2 (5; 4; 7) , A3 (2; 4; 7) , A4 (7;3; 0) пирамиды.

Требуется найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра A1 A2 ;

2)угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;

3)площадь грани A1 A2 A3 ;

4)объем пирамиды;

5)уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .

Контрольная работа № 2

1. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):

168

8. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить графики функций:

12.Дана функция z = xy + 2 y2 − 2x и две точки A(1; 2) и B(0,97 ; 2,03) . Требуется:

1)вычислить значение функции в точке B ;

2)вычислить приближенное значение z1′ функции в точке B , исходя из значения z0 функции в точке A и заменив полное приращение функции при переходе от точки A к точке B полным дифференциалом;

3)оценить в процентах относительную погрешность, полученную при замене приращения функции ее дифференциалом;

4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = xy + 2 y2 − 2x в точке C(1; 2; z(1; 2)) .