142
12.Дана функция z = 3x2 − xy + x + y и две точки A(1; 3) и B(1,06; 2,92) . Требуется:
1)вычислить значение функции в точке B ;
2)вычислить приближенное значение z1′ функции в точке B , исходя из значения z0 функции в точке A и заменив полное приращение функции при переходе от точки A к точке B полным дифференциалом;
3)оценить в процентах относительную погрешность, полученную при
замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности
z = 3x2 − xy + x + y в точке C(1; 3; z(1; 3)) .
Вариант 3
Контрольная работа № 1
1. Даны вершины A(5; −1) , B(1; − 4) , C(−4; 8) треугольника. Требуется найти:
1)длину стороны BC ;
2)площадь треугольника ABC ;
3)уравнение стороны BC ;
4)уравнение высоты, проведенной из вершины A ;
5)длину высоты, проведенной из вершины A ;
6)угол B в радианах с точностью до 0,01.
Сделать чертеж.
2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(4; 1) на расстояние 4 единиц от точки B(−4; 0) .
3. |
Найти прямую, |
проходящую |
через |
точку |
пересечения прямых |
||
x + 2 y +3 = 0 , 2x +3y + 4 = 0 и параллельно прямой |
5x +8 y = 0 . |
||||||
4. |
Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки |
||||||
F(8; 0) вдвое больше, чем от прямой |
x − 2 = 0 . Сделать чертеж. |
||||||
5. |
Составить уравнение параболы и ее директрисы, если известно, что пара- |
||||||
бола проходит |
через |
точки |
пересечения |
прямой |
y = 2x с окружностью |
||
x2 + y2 −10 y = 0 |
и |
ось Ox |
является осью симметрии параболы. Сделать |
||||
чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Дано уравнение параболы |
x2 − 4x +5y +14 = 0 . |
Сделать параллельный |
||||
перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравне-
143
ние параболы приняло вид x2 = ay или y2 = ax . Построить обе системы координат и параболу.
7. Решить систему линейных алгебраических уравнений:
2x − y + z − 4 = 0,3x + 2 y + 2z + 2 = 0,
x − 2 y + z −1 = 0,
а) используя правило Крамера; б) используя матричный метод; в) используя метод Гаусса.
8. Даны векторы ar ={8; 2; 3} , b ={4; 6; 10}, c ={3; − 2; 1}, d ={7; 4; 11} в не-
котором базисе. Показатьr , что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
9. Даны вершины A1 (3;5; 4) , A2 (5;8;3) , A3 (1;9;9) , A4 (6; 4;8) пирамиды. Тре-
буется найти средствами векторной алгебры:
1)длину ребра A1 A2 ;
2)угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
3)площадь грани A1 A2 A3 ;
4)объем пирамиды;
5)уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .
Контрольная работа № 2
1. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
а) lim |
x3 |
+ x2 |
− 2x |
; |
б) lim |
x2 |
−3x + 2 |
; |
|
|
|
|
|
3x2 |
− 4x − 4 |
||||
x→∞ 5x3 +3x2 + x +1 |
|
x→2 |
|
||||||
в)
д)
lim |
3x |
|
; |
||
x +1 |
− |
|
|||
x→0 |
1 − x |
||||
lim(1+5x) |
|
8+x |
|
|
|
|
x |
. |
|||
x→0 |
|
|
|
|
|
г) lim |
π |
|
|
|
|
2 |
− x tg x ; |
||
x→π |
2 |
|
|
|
2. Функция y = f (x) задана различными аналитическими выражениями для
различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
144 |
|
|
|
x, x ≤ −1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
−1 < x ≤ π 6; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y = 1 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x > π 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
sin x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
Найти производные |
dy : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
y = |
|
|
x2 +1 |
; |
|
|
|
б) |
y = sin |
6 |
10x +cos |
6 |
10x ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
− e−x |
|
|
|
|||||
|
в) |
y = |
1 |
ln |
|
x +1 |
|
; |
г) |
y = arctg |
; |
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
x2 − |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
д) |
x tg y − x2 + y2 = 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
Найти |
dy |
|
и |
d 2 y |
для функции, заданной параметрически: |
|
|
|
|||||||||||||||
dx |
|
dx2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x = t −sin t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =1−cos t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
Продифференцировать данные функции, |
используя правило логарифми- |
||||||||||||||||||||||
ческого дифференцирования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
а) |
y = (arcsin x)ex |
; |
|
|
б) |
y = |
(x2 − 6) (4 + x2 )3 |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120x5 |
|
|
|
|
|
6. |
Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
а) |
lim |
ex −e−x |
; |
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
cos x |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (π − 2x) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
x→0 ln(1+ x) |
|
|
|
|
|
x→π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
На линии |
|
y = 3x2 − 24x −10 |
найти точку, в которой касательная к этой |
||||||||||||||||||||
линии параллельна прямой 24x − 2 y +13 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8. |
Исследовать методами дифференциального исчисления и построить гра- |
|||||||||||||||||||||||
фики функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
а) |
y = x |
5 − |
5 x3 ; |
|
|
|
б) |
y = ex −e−x . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
ex + e−x |
|
|
|
|
|
|||
9. Вычислить приближенно с помощью дифференциала: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
а) |
y = arcsin x , |
x = 0,08 ; |
б) |
y = |
x3 , |
x = 0,98 . |
|||||||||||||||||