Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Mathematics1 reduced.pdf

Скачиваний:

117

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Найдем ar×b :

ar = ax ir + ay rj + az k , b = bx i + by j + bz k ,

ar×

b =	(a ir		+ a rj + a k )×(b ir			+b rj +b k )= a b ir				×ir	+
rсвойство3					r			r
		x	y	z	x	y	z		x x

ay bx j ×ir + az bx k ×i + ax by i × j + ay by j × rj + az by k × j + ax bz ir×kr + ay bz j ×k + az bz k ×k = ay bx (−kr) + az bx j +

ax by k + az by (−i ) + ax bz (− j) + ay bz i =

(ay bz − az by ) ir −(ax bz − az bx ) j + (ax by − ay bx ) kr =

−

k =

Пример 2. Найти векторное произведение векторов

ar = 3i + 2 j − 3k

и b = 2i − k .

Решение.

2 − 3

3 − 3

3 2

×b

− 3

−1

i −

−1

j +

2 0

= −2i

− 3 j

− 4k .

−1

§ 10. Смешанное произведение трех векторов

Определение. Смешанным произведением трех векторов ar, b и c

называетсяr скалярное произведение вектора векторного произведения векторов ar и b на третий вектор c , т.е.

(ar b cr )= (ar×b ) cr.

Пусть

ar =

; a

b =

{b ; b

; b },

c = {c

; c

Тогда

×b

или

×b

; −

;

Отсюда

(ar×br ) cr =

−

Свойства смешанного произведения трех векторов.

Теорема 1. При круговой перестановке векторов ar, b и cr смешанное произведение не меняет своего значения. При любой другой перестановке этих векторов их смешанное произведение меняет знак на противоположный, т.е.

(ar b cr )= (cr ar b )= (b cr ar )= −(b ar cr )= −(ar cr b )= −(cr b ar ).

Доказательство: докажем, например, что

(ar b cr )= −(ar cr br ).

Пусть ar = {a

; a

b = {b ; b

; b

c = {c

; c

Тогда

(ar br cr )=

= −(ar cr br ).

= −

Теорема 2. Смешанное произведение трех векторов ar, br и c с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах:

(ar b cr )= ±V .

Доказательство:

(ar×br ) cr = d cr =

ar×b

cosϕ = SOABC

cosϕ

dr = ar×br

(рис. 1.20).

ϕ <

Тогда

h =

cosϕ ,

2 .

(ar×b ) cr = SOABC h =V .

ϕ r

ϕ >

Тогда

cosϕ < 0 ,

cosϕ = −h ,

Рис. 1.20

(ar×b ) cr = −SOABC h = −V .

Теорема 3.

(ar br cr )= 0

a , b и c – компланарны.

Доказательство.

Пусть (ar b cr )= 0 . Докажем, что ar, br

и cr – компла-

1) Необходимость.

нарны. Действительно, если бы a , b и c были некомпланарны, то на них можно было бы построить параллелепипед с объемом V = (ar b cr )≠ 0. Зна-

чит, ar, b и cr компланарны.

Достаточность. Пусть

a ,

– компланарны.

Докажем, что

(ar

br cr )= 0 . Не ограничивая общности,

можно считать,

что ar,

br и c α .

Тогда d = ar×b α , и значит,

d cr. Отсюда d cr = 0 .

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов

= 2i

− j − k , b = i + 3 j − k , c = i + j +

4k .

Решение.

−1

(ar br cr)=

−1

= 24 +1 −1 + 3 + 2 + 4 = 33.

Пример 2.

Компланарны

ли

векторы

a = {1; −1; − 3 },

b = {3; 2; 1},

cr = {2; 3; 4 } ?

Решение.

−1

−3

(ar br cr)=

= 8 − 2 − 27 +12 −3 +12 = 0 .

Смешанное произведение векторов a ,

b и c равно нулю, следовательно, эти

вектора компланарны.

Пример 3.

Найти

объем

треугольной

пирамиды

вершинами

A(2; 2; 2) , B(4; 3; 3) , C(4; 5; 4) и D(5; 5; 6) .

→→ →

Решение. Найдем векторы AB ,

AC и AD , совпадающие с ребрами пирами-

ды, сходящимися

вершине

A :

AB = 2ir + rj + kr,

AC = 2ir +3rj + 2kr

→

+ 4kr. Находим смешанное произведение этих векторов:

AD = 3ir +3 rj

→ →

→

= 24 + 6 + 6 −9 −12 −8 = 7 .

AB AC AD

3 2

Т.к. объем пирамиды равен 1 6

объема параллелепипеда, построенного на

→

векторах AB , AC и AD , то V = 7 6 (куб. ед.).

Глава II

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

ИВ ПРОСТРАНСТВЕ

§1. Понятие об уравнениях линии и поверхности. Алгебраические уравнения первой и второй степени

Рассмотрим Декартову систему координат на плоскости. Каждая точка M определяется на плоскости единственным образом своими координатами, которые совпадают с координатами ее ради-

y		ус-вектора rM (рис. 2.1).
M ( x ; y)		Однако метод координат находит при-
M ( x ; y)		менение не только в вопросах, связанных с
rrM		менение не только в вопросах, связанных с
rrM		рассмотрением положения отдельных точек.
y		Оказывается, что рассмотрение основной
x		идеи – определения положения точки при
O	x	помощи координат – дает возможность про-
Рис. 2.1		изводить методами алгебры изучение и более
Рис. 2.1		сложных геометрических образов – линий.

Рассмотрим точку M ( x ; y) , перемещающуюся по плоскости xOy ; бу-

дем называть такую точку переменной точкой. Ясно, что при каждом определенном положении точки M на плоскости ее координаты ( x ; y) будут иметь

определенные числовые значения, и что различным положениям точки M на плоскости будут отвечать различные численные значения ее координат. Таким образом, координаты переменной точки являются величинами переменными, поэтому их называют текущими координатами.

Определение. Уравнением плоской линии называется уравнение с пе-

ременными x и y , которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на линии.

Аналогично вводятся понятия уравнений поверхности и линии в пространстве.

Определение. Порядком алгебраического уравнения называется старшая степень, с которой переменные входят в это уравнение.

Так, например,

Ax + By + C = 0 – общее уравнение 1-го порядка с двумя неизвестными;

Ax + By +Cz + D = 0 – общее уравнение 1-го порядка с тремя неизвестными;

Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 – общее уравнение 2-го порядка с двумя неизвестными.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4813 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.12.2018318.46 Кб7material 2.doc
#
17.03.201523.58 Кб15materialka.docx
#
06.03.201618.45 Кб21materialoved.docx
#
07.12.2018243.71 Кб6Materialovedenie.doc
#
17.03.20153.56 Mб43Mathematics.Part 1.pdf
#
17.03.20151.9 Mб117Mathematics1 reduced.pdf
#
17.03.20151.16 Mб100Mathematics5.pdf
#
17.03.2015434.2 Кб13Matritsy.pdf
#
17.03.2015165.2 Кб12Mechanics_questions.pdf
#
17.03.20152.23 Mб216Mekhanika_Gruntov.doc
#
10.11.2019229.89 Кб16method.doc