149
Вариант 5
Контрольная работа № 1
1. Даны вершины A(6; 0) , B(2; −3) , C(−3; 9) треугольника. Требуется найти:
1)длину стороны BC ;
2)площадь треугольника ABC ;
3)уравнение стороны BC ;
4)уравнение высоты, проведенной из вершины A ;
5)длину высоты, проведенной из вершины A ;
6)угол B в радианах с точностью до 0,01.
Сделать чертеж.
2. |
Даны уравнения |
двух сторон параллелограмма |
x + 2 y +12 = 0 , |
2x + y + 4 = 0 и точка |
P(4; −5) пересечения его диагоналей. Составить |
||
уравнения двух других сторон параллелограмма. |
|
||
3. |
Показать, что треугольник со сторонами x + y 3 +1 = 0 , x |
3 + y +1 = 0 и |
|
x − y −10 = 0 равнобедренный. Найти угол при его вершине.
4. Составить уравнение линии, каждая точка которой является центром окружности, касающейся оси Ox и проходящей через точку P(3; 4) . Сделать
чертеж.
5. Составить уравнение окружности, проходящей через фокусы эллипса x2 + 4 y2 =16 и имеющей центр в вершине эллипса, ордината которой отрицательна. Найти точки пересечения этой окружности с осью Oy . Сделать чертеж.
6. Дано уравнение параболы |
x2 −8x −3y +19 = 0 . |
Сделать параллельный |
перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравне- |
||
ние параболы приняло вид x2 |
= ay или y2 = ax . |
Построить обе системы |
координат и параболу. |
|
|
7. Решить систему линейных алгебраических уравнений:
x + 2 y +3z −5 = 0,2x − y − z −1 = 0,
x +3y + 4z −6 = 0,
а) используя правило Крамера; б) используя матричный метод; в) используя метод Гаусса.
150 8. Даны векторы ar ={2; 4; 1} , b ={1; 3; 6}, c ={5; 3; 1} , dr ={24; 20; 6} в неко-
тором базисе. Показать, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
9. Даны вершины A1 (9;5;5) , A2 (−3; 7;1) , A3 (5; 7;8) , A4 (6;9; 2) пирамиды.
Требуется найти средствами векторной алгебры:
1)длину ребра A1 A2 ;
2)угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
3)площадь грани A1 A2 A3 ;
4)объем пирамиды;
5)уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .
Контрольная работа № 2
1. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
а) |
lim |
7x3 − 2x +5 |
; |
б) |
lim |
2x2 −3x − 2 |
; |
||
2x3 +1 |
x2 + 6x −16 |
||||||||
|
x→∞ |
|
|
x→2 |
|
||||
в) |
lim |
4x +1 −3 |
|
; |
г) |
lim (sin 7x ctg 5x); |
|||
3x +10 − 4 |
|||||||||
|
x→2 |
|
|
x→0 |
|
|
|||
д) |
lim (1+ cos x)3 cos x . |
|
|
|
|
||||
|
x→π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2. Функция y = f (x) задана различными аналитическими выражениями для
различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.
|
2, x < −1; |
|
|
|
|
|
|
||||
y = 2 − 2x, −1 ≤ x ≤1; |
|
|
|
||||||||
|
ln x, |
x >1. |
|
|
|
|
|
|
|||
3. Найти производные |
dy |
: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
dx |
|
|
|
|
x − |
x |
|
|
|
sin x−cos x |
(sin x + cos x); |
||||
а) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
б) y = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y = |
|
x |
|
|
|
||||||
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|||
в) |
y = ln 3 5tg |
x |
+ 4 ; |
г) y = 4 arcsin |
x +1 |
; |
|
2 |
|||||
|
2 |
|
|
|
||
д) |
exy − x2 + y3 = 0 . |
|
|
|
||
151
4. Найти |
dy |
и |
d 2 y |
для функции, заданной параметрически: |
|
dx |
dx2 |
||||
|
|
|
x = 3cos2 t,y = 2sin3 t.
5. Продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования:
|
|
|
e1 x |
|
|
|
|
|
|
x −1 |
||||
а) |
y = (sin |
x ) |
; |
|
б) |
y = |
|
|
|
. |
||||
|
|
(x2 +5)7 (x3 −8)2 |
||||||||||||
6. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя: |
|
|
||||||||||||
|
|
π − 2arctg x |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|||||
а) |
lim |
e3 |
x −1 |
|
; |
б) |
lim |
|
|
− ctg |
|
x . |
||
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
x→0 |
x2 |
|
|
|
|||||
7. |
На линии |
y = 2x3 − 2x2 + 5x |
найти точку, в которой касательная к этой |
|||||
линии параллельна прямой 6x −3y −11 = 0 . |
|
|||||||
8. |
Исследовать методами дифференциального исчисления и построить гра- |
|||||||
фики функций: |
|
|
|
|
|
|||
|
а) |
y = (x −3)2 (x − 2) ; |
|
|
|
б) |
y = (x +1) e−2 x . |
|
9. |
Вычислить приближенно с помощью дифференциала: |
|||||||
|
а) |
y = 3 |
x2 , x =1,03; |
|
|
|
б) |
y = x6 , x = 2,01. |
10. |
Найти частные производные |
дz , |
дz |
функции z = z(x; y) : |
||||
|
|
|
|
дx |
дy |
|
|
|
|
а) |
z = x3 y + xy2 ; |
|
|
|
б) |
z = x − 3xy . |
|
11. а) Найти производную сложной функции |
z = f (ϕ(t);ψ (t)) : |
|||||||
|
|
|
f (x; y) = x arctg(x + 2 y) , |
ϕ(t) = sin t , ψ (t) = cos t . |
||||
|
б) |
Найти частные производные |
дz |
, |
дz |
сложной функции |
||
|
дu |
дv |
||||||
|
|
z = f [ϕ(u; v);ψ (u; v)]: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f (x; y) = x2 + xy , ϕ(u; v) = u sin v , |
ψ (u; v) = v cos v . |
|||||