- •ВВЕДЕНИЕ
- •§ 1. Матрицы и простейшие операции над ними
- •Операции над матрицами
- •§ 2. Определители, их основные свойства и методы вычисления
- •2.1 Определители второго порядка
- •Свойства определителей второго порядка
- •2.2 Определители третьего порядка
- •2.3 Понятие об определителях высших порядков
- •§ 3. Обратная матрица и ее вычисление
- •4.2 Метод Крамера
- •4.3 Метод Гаусса
- •§ 5. Векторы, линейные операции над векторами
- •Линейные операции над векторами
- •§ 6. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях
- •§ 7. Линейная зависимость векторов. Базис
- •7.1 Базис на плоскости и в пространстве
- •7.2 Прямоугольный Декартов базис. Декартова система координат
- •7.3 Направляющие косинусы вектора
- •7.4 Радиус-вектор
- •7.5 Условие коллинеарности двух векторов
- •7.6 Простейшие задачи
- •§ 8. Скалярное произведение векторов
- •8.2 Косинус угла между векторами
- •§ 9. Векторное произведение векторов
- •§ 10. Смешанное произведение трех векторов
- •§ 2. Прямая на плоскости
- •2.1 Общее уравнение прямой и его исследование
- •2.4 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •2.6 Уравнение прямой в отрезках
- •2.7 Нормальное уравнение прямой
- •2.8 Расстояние от точки до прямой
- •§ 3. Плоскость
- •3.1 Общее уравнение плоскости
- •3.2 Неполные уравнения плоскости
- •3.3 Уравнения плоскости в отрезках
- •3.4 Нормальное уравнение плоскости
- •3.6 Расстояние от точки до плоскости
- •§ 4. Прямая в пространстве
- •4.1 Уравнение линии в пространстве
- •4.2 Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой
- •4.3 Канонические уравнения прямой
- •4.4 Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •4.6 Прямая и плоскость в пространстве
- •§ 5. Плоские кривые второго порядка
- •5.1 Окружность
- •5.2 Эллипс
- •5.3 Гипербола
- •5.4 Парабола
- •§ 6. Преобразование системы координат на плоскости
- •6.1 Параллельный перенос осей координат
- •6.2 Поворот осей координат на угол α
- •§ 7. Полярная система координат на плоскости
- •8.1 Сфера
- •8.2 Цилиндрические поверхности
- •8.3 Конические поверхности
- •8.4 Поверхность вращения
- •8.5 Эллипсоид
- •8.6 Гиперболоид
- •8.7 Параболоид
- •Глава III МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •§ 1. Логическая символика, множества и операции над ними
- •§ 2. Функции и их классификация
- •Элементарные функции
- •§ 3. Абсолютные величины и соотношения, связанные с ними
- •Свойства модуля действительного числа
- •§ 4. Последовательность. Характер изменения переменных величин
- •§ 5. Понятие о пределе переменной
- •§ 6. Окрестность точки
- •§ 7. Предел функции в точке
- •§ 8. Односторонние пределы функции в точке
- •§ 9. Свойства функций, имеющих предел
- •§ 10. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •§ 11. Основные теоремы о пределах
- •§ 12. Предел дробно-рациональной функции
- •§ 13. Первый замечательный предел
- •§ 14. Второй замечательный предел
- •§ 15. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 16. Непрерывность функции
- •§ 17. Операции над непрерывными функциями
- •§ 18. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •§ 19. Производная функции одной переменной
- •19.2 Основные свойства производной
- •19.3 Производная сложной функции
- •19.4 Производная обратной функции
- •19.5 Производная функции, заданной параметрическими уравнениями
- •19.6 Геометрический смысл производной
- •19.7 Уравнения касательной и нормали к линии
- •19.8 Дифференцирование элементарных функций
- •19.9 Производная степенно-показательной функции
- •19.10 Дифференцирование неявной функции
- •19.11 Производные высших порядков
- •19.12 Правила Лопиталя
- •19.13 Основные теоремы для дифференцируемых функций
- •19.14 Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •19.15 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •19.16 Выпуклость и вогнутость функции
- •19.17 Формула Тейлора
- •§ 20. Дифференциал функции одной переменной
- •20.1 Дифференциал и его геометрический смысл
- •20.2 Свойства дифференциала функции
- •20.3 Дифференциал сложной функции. Свойство инвариантности
- •20.4 Приближенное вычисление с помощью дифференциала
- •20.5 Дифференциалы высших порядков
- •§ 21. Функции многих переменных
- •21.1 Понятие функции нескольких переменных
- •21.2 Непрерывность функции двух переменных
- •21.3 Дифференцирование функции двух переменных
- •21.5 Полный дифференциал функции двух переменных
- •21.6 Приближенное вычисление с помощью полного дифференциала
- •21.7 Производные высших порядков функции двух переменных
- •21.9 Неявная функция. Дифференцирование неявной функции
- •21.10 Градиент функции многих переменных и его свойства
- •21.11 Экстремум функции нескольких переменных
- •ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ
- •КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
- •Вариант 1
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант 2
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант 3
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант 4
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант 5
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант 6
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант 7
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант 8
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант 9
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант 10
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа № 2
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Список рекомендуемой литературы
55
Прямая L и плоскость Q :
а) перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когдаr направляющий вектор sr ={m; n; p } прямой и нормальный вектор N = {A; B; C } плоскости коллинеарны;
б) параллельныr друг другу тогда и только тогда, когда векторы s ={m; n; p } и N = {A; B; C }перпендикулярны.
2. Точка пересечения прямой с плоскостью.
Пусть требуется найти точку пересечения прямой L с плоскостью Q :
L : |
x − x1 |
= |
y − y1 |
= |
z − z1 |
, |
|
m |
n |
p |
|||||
|
|
|
|
Q : Ax + By +Cz + D = 0 .
Для этого нужно совместно решить систему уравнений L и Q . Проще всего это сделать с помощью параметрических уравнений:
x = x1 + mt, |
|
||
|
|
+ nt, |
(*) |
y = y1 |
|||
z = z |
+ pt. |
|
|
|
1 |
|
|
Подставляя x , y , z из (*) в уравнение плоскости Q , получим уравнение, из которого найдем значение параметра t :
A(x1 + mt) + B( y1 + nt) +C(z1 + pt) + D = 0 ,
или
t( Am + Bn +Cp) = −( Ax1 + By1 +Cz1 + D) .
Если плоскость и прямая не параллельны (т.е. N sr ≠ 0 ), найдем:
t = − Ax1 + By1 +Cz1 + D . Am + Bn +Cp
§ 5. Плоские кривые второго порядка
Определение. Плоской кривой второго порядка называется линия, оп-
ределяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых
координат x и y . |
|
В общем случае это уравнение имеет следующий вид: |
|
Ax2 + 2Bxy +Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 . |
(1) |
Составим определитель из коэффициентов при старших членах уравне-
ния (1):
56
δ = |
A |
B |
. |
|
B |
C |
|
Уравнение второй степени (1) называется эллиптическим, если δ > 0 ,
гиперболическим, если δ < 0 , и параболическим, если δ = 0 .
5.1 Окружность
Определение. Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки этой плоскости – центра окружности.
Из определения следует, что любая точка окружности M (x; y) |
с теку- |
||
|
щими координатами x и y находится на |
||
y |
расстоянии R от центра окружности |
||
M (x; y) |
O(a; b) (рис. 2.15). Тогда |
|
|
|
(x − a)2 + ( y −b)2 = R , |
|
|
O(a; b) |
откуда |
|
|
(x − a)2 + ( y −b)2 = R2 . |
(2) |
||
|
O
Рис. 2.15
началом координат,
Уравнение (2) называется каноническим
xуравнением окружности с центром в точке
O(a; b) .
Если центр окружности совпадает с то a = b = 0 , и уравнение (2) примет вид
x2 + y2 = R2 . |
(3) |
5.2 Эллипс
Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (при условии, что эта величина больше расстояния между фокусами).
Обозначим фокусы через F1
|
y |
|
и F2 , расстояние между ними – |
|
|
B2 |
M (x; y) |
через 2c , а постоянную величину, |
|
|
|
|
равную сумме расстояний от каж- |
|
|
|
|
дой точки эллипса до фокусов, |
|
A1 |
F1(−c; 0) O |
F2 (c; 0) A2 x |
через 2a |
(по условию 2a > 2c ) |
(рис. 2.16). |
|
|||
|
B1 |
|
Построим ДСК так, чтобы |
|
|
|
фокусы F и F оказались на оси |
||
|
|
|
1 |
2 |
|
Рис. 2.16 |
Ox , а начало координат совпало с |
||
|
серединой |
отрезка F1F2 . В вы- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57 |
бранной |
системе координат |
фокусы |
имеют координаты: левый фокус |
|||||||||||||||
F1 (−c; 0) |
и правый фокус F2 (c; 0) . Выведем уравнение эллипса. Рассмотрим |
|||||||||||||||||
произвольную точку M (x; y) |
эллипса. По определению: |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
MF1 |
|
+ |
|
MF2 |
|
= 2a . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
MF |
|
= (x + c)2 + y2 , |
|
|
|
|
MF |
|
= (x −c)2 |
+ y2 |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
следовательно,
(x + c)2 + y2 + (x −c)2 + y2 = 2a .
Отсюда
(x + c)2 + y2 = 2a − (x −c)2 + y2 .
Возведя обе части полученного соотношения в квадрат, получим:
(x + c)2 + y2 = 4a2 + (x −c)2 + y2 − 4a (x −c)2 + y2 ,
x2 + 2xc + c2 + y2 − 4a2 − x2 + 2xc −c2 − y2 = −4a (x −c)2 + y2 , 4xc − 4a2 = −4a (x −c)2 + y2 ,
cx − a2 = −a (x −c)2 + y2 .
Еще раз возведем обе части полученного соотношения в квадрат:
c2 x2 |
− 2cxa2 |
+ a4 |
= a2 ((x −c)2 + y2 ) , |
|
c2 x2 |
− 2cxa2 |
+ a4 |
= a2 x2 − 2xca2 + a2c2 + a2 y2 , |
|
a2 x2 + a2 y2 −c2 x2 = a4 − a2c2 , |
|
|||
(a2 −c2 ) x2 + a2 y2 = a2 (a2 −c2 ) . |
(*) |
Т.к. по определению эллипса 2a > 2c , то число a2 −c2 положительное. Введем обозначение: a2 −c2 = b2 . Тогда уравнение (*) примет вид
b2 x2 + a2 y2 = a2b2 ,
или |
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ |
y2 |
=1. |
(4) |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
|
|
Уравнение (4) называется каноническим уравнением эллипса.
Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, которые в выбранной системе координат совпадают с координатными осями. Оси симметрии эллипса называются осями эллипса, а точка их пересечения – центром эллипса. Та ось, на которой расположены фокусы эллипса (в данном случае ось Ox ), называется фокальной осью. Точки пересечения эллипса с
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58 |
осями координат называются вершинами эллипса. Эллипс имеет 4 вершины: |
||||||||||||
A1 (−a; 0) , A2 (a; 0) , B1 (0; −b) , B2 (0; b) . |
|
|
|
|
|
|
||||||
Отрезки A1 A2 |
и B1B2 , соединяющие противоположные вершины, а так- |
|||||||||||
же их длины 2a и 2b , называются, соответственно, большой и малой осями |
||||||||||||
эллипса. Числа a и b называются, соответственно, большой и малой полу- |
||||||||||||
осями эллипса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. |
Эксцентриситетом эллипса называется отношение по- |
|||||||||||
ловины фокусного расстояния эллипса к его большой полуоси: |
c |
= ε . |
|
|||||||||
Т.к. c < a , то для эллипса ε <1. |
|
|
|
a |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем меньше эксцентри- |
||||||||||||
ситет, тем меньше его малая полуось b отличается от большой полуоси a , |
||||||||||||
т.е. тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси. |
|
|
|
|
|
|||||||
В предельном случае при b = a получается окружность радиуса a , фо- |
||||||||||||
кусы эллипса как бы сливаются в одной точке – центре окружности. Эксцен- |
||||||||||||
триситет окружности равен нулю: ε = 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
Отрезки |
F1M |
= r1 |
и |
F2M |
= r2 называются фокальными радиусами. |
|||||||
Они могут быть вычислены по формулам: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
r1 = a +ε x , |
r2 = a −ε x . |
|
|
|
|
|
|||
Если эллипс задан уравнением (4), то прямые |
x = − a , |
x |
= a |
называют- |
||||||||
ся директрисами эллипса. |
|
|
|
|
ε |
|
ε |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Директриса обладает следующим свойством: если r |
– |
расстояние от |
||||||||||
произвольной точки эллипса до некоторого фокуса, d – расстояние от той же |
||||||||||||
точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение r |
= ε . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
5.3 |
Гипербола |
|
|
|
|
|
|
Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоско- |
||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
сти, абсолютная величина разности |
||||||
|
|
|
|
|
расстояний каждой из которых от |
|||||||
|
N |
B2 |
E |
M (x; y) |
двух данных точек этой плоскости, |
|||||||
|
|
|
называемых |
фокусами |
гиперболы, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
есть величина постоянная (при усло- |
||||||
F1 |
A1 |
|
A2 |
F2 |
x |
вии, что эта величина не равна нулю и |
||||||
|
|
B1 |
|
|
|
меньше расстояния между фокусами). |
||||||
|
C |
D |
|
|
Обозначим |
расстояние |
между |
|||||
|
|
|
|
|
|
фокусами F1 и F2 через 2c , абсолют- |
||||||
|
|
|
|
|
|
ную величину разности – 2a , тогда |
||||||
|
Рис. 2.17 |
|
|
0 < 2a < 2c (рис. 2.17). |
|
|
|
|
59
Построим ДСК так, чтобы фокусы F1 и F2 оказались на оси Ox , а начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2 . В этой системе координат фокусы имеют координаты: левый фокус F1 (−c; 0) и правый фокус F2 (c; 0) . Выведем уравнение гиперболы. По определению гиперболы, для любой ее точки M (x; y) имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MF1 |
|
|
|
− |
|
MF2 |
|
= ±2a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Но |
|
MF |
|
= (x + c)2 |
+ y2 |
, |
|
|
MF |
|
|
= (x −c)2 + y2 . Следовательно, |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(x + c)2 + y2 − (x −c)2 + y2 = ±2a .
После упрощений получим
(a2 −c2 ) x2 + a2 y2 = a2 (a2 −c2 ) .
В этом уравнении разность a2 −c2 < 0 . Положим c2 − a2 = b2 . Тогда получим
b2 x2 − a2 y2 = b2a2 ,
или
x2 |
− |
y2 |
=1. |
(5) |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
Уравнение (5) называется каноническим уравнением гиперболы.
Гипербола имеет две оси симметрии, которые совпадают с осями координат. Точка их пересечения называется центром гиперболы. Ось гиперболы, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью.
Точки пересечения гиперболы с фокальной осью называются ее вершинами. Гипербола имеет две вершины: A1 (−a; 0) , A2 (a; 0) .
Фокальная ось называется действительной осью, а ось симметрии, перпендикулярная фокальной оси – мнимой осью гиперболы.
Действительной осью также называется отрезок, соединяющий вершины гиперболы, и его длина 2a . Отрезок, соединяющий точки B1 (0; −b) и
B2 (0; b) , а также его длина 2b называется мнимой осью гиперболы. Числа a
и b соответственно называются действительной и мнимой полуосями гиперболы.
Гипербола имеет две асимптоты: прямые y = ba x и y = − ba x .
Прямоугольник CDEN с центром в начале координат и со сторонами, параллельными осям Ox и Oy и соответственно равными 2a и 2b , называ-
ется основным. Каждая из его диагоналей, неограниченно продолженная в обе стороны, является асимптотой гиперболы.
Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение половины фокусного расстояния гиперболы к ее действительной полуоси: ac = ε .