1)вычислить значение функции в точке B ;

2)вычислить приближенное значение z1′ функции в точке B , исходя из значения z0 функции в точке A и заменив полное приращение функции при переходе от точки A к точке B полным дифференциалом;

3)оценить в процентах относительную погрешность, полученную при

замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности

z = x2 + 3xy − 6 y в точке C(4; 1; z(4; 1)) .

Вариант 4

Контрольная работа № 1

1. Даны вершины A(−14; 6) , B(−2; 1) , C(1; 5) треугольника. Требуется найти:

1)длину стороны BC ;

2)площадь треугольника ABC ;

3)уравнение стороны BC ;

4)уравнение высоты, проведенной из вершины A ;

5)длину высоты, проведенной из вершины A ;

6)угол B в радианах с точностью до 0,01.

Сделать чертеж.

146

2. Найти координаты точки, симметричной точке A(−5; 2) относительно прямой 4x +3y −5 = 0 .

3. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых x + 6 y +5 = 0 , 3x − 2 y +1 = 0 и через точку M (−45; 1) .

4. Составить уравнение линии, для каждой точки которой сумма квадратов ее расстояний от начала координат и от точки A(0; −4) равна 16. Сделать

чертеж.

5. Найти расстояние точки гиперболы 9x2 −16 y2 =144 , ордината которой

равна 1,5 5 , а абсцисса отрицательна, до фокусов и асимптот гиперболы. Сделать чертеж.

6. Дано уравнение параболы y2 + x − 4 y + 2 = 0 . Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравнение параболы приняло вид x2 = ay или y2 = ax . Построить обе системы координат и параболу.

7. Решить систему линейных алгебраических уравнений:

2x − 4 y +3z −1 = 0,

x − 2 y + 4z −3 = 0,3x − y +5z − 2 = 0,

а) используя правило Крамера; б) используя матричный метод; в) используя метод Гаусса.

8. Даны векторы ar ={10; 3; 1}, b ={1; 4; 2}, c ={3; 9; 2} , dr ={19; 30; 7} в не-

котором базисе. Показатьr , что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

9. Даны вершины A1 (2; 4;3) , A2 (7; 6;3) , A3 (4;9;3) , A4 (3; 6; 7) пирамиды. Тре-

буется найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра A1 A2 ;

2)угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;

3)площадь грани A1 A2 A3 ;

4)объем пирамиды;

5)уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .

12.Дана функция z = x2 − y2 + 6x +3y и две точки A( 2; 3) и B( 2,02; 2,97) . Требуется:

1)вычислить значение функции в точке B ;

2)вычислить приближенное значение z1′ функции в точке B , исходя из значения z0 функции в точке A и заменив полное приращение функции при переходе от точки A к точке B полным дифференциалом;

3)оценить в процентах относительную погрешность, полученную при замене приращения функции ее дифференциалом;

4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = x2 − y2 + 6x +3y в точке C(2; 3; z(2; 3)) .