162

1)вычислить значение функции в точке B ;

2)вычислить приближенное значение z1′ функции в точке B , исходя из значения z0 функции в точке A и заменив полное приращение функции при переходе от точки A к точке B полным дифференциалом;

3)оценить в процентах относительную погрешность, полученную при

замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности

z = x2 − y2 +5x + 4 y в точке C(3; 2; z(3; 2)) .

Вариант 9

Контрольная работа № 1

1. Даны вершины A(3; −3) , B(−1; −6) , C(−6; −6) треугольника. Требуется найти:

1)длину стороны BC ;

2)площадь треугольника ABC ;

3)уравнение стороны BC ;

4)уравнение высоты, проведенной из вершины A ;

5)длину высоты, проведенной из вершины A ;

6)угол B в радианах с точностью до 0,01.

Сделать чертеж.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(1; − 2) , так, что-

бы отрезок ее, заключенный между осями координат, делился в точке A пополам.

3. Составить уравнения прямых, проходящих через точку M (2; 7) и образующих с прямой AB , где A(−1; 7) и B(8; − 2) , углы 45o .

4. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки F(0; −1) втрое меньше, чем от прямой y −36 = 0 . Сделать чертеж.

5.Составить уравнения асимптот гиперболы, вычислить угол между ними и найти ее эксцентриситет, если фокусы гиперболы расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат, а 3a = 2c . Сделать чертеж.

6.Дано уравнение параболы x2 +8x − 2 y +14 = 0 . Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравне-

ние параболы приняло вид x2 = ay или y2 = ax . Построить обе системы координат и параболу.

163

7. Решить систему линейных алгебраических уравнений:

x + 2 y + 4z − 2 = 0,x + y −3z + 4 = 0,

x + 2 y + 4z −1 = 0,

а) используя правило Крамера; б) используя матричный метод; в) используя метод Гаусса.

Требуется найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра A1 A2 ;

2)угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;

3)площадь грани A1 A2 A3 ;

4)объем пирамиды;

5)уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .

Контрольная работа № 2

1. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):

5

д) lim(1+ 2 sin x)sin x .

x→0

2. Функция y = f (x) задана различными аналитическими выражениями для

различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.

164

x = t + ln cos t,y = t −ln sin t.

5. Продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования: