159
Вариант 8
Контрольная работа № 1
1. Даны вершины A(−8; 4) , B(4; −1) , C(7; 3) треугольника. Требуется найти:
1)длину стороны BC ;
2)площадь треугольника ABC ;
3)уравнение стороны BC ;
4)уравнение высоты, проведенной из вершины A ;
5)длину высоты, проведенной из вершины A ;
6)угол B в радианах с точностью до 0,01.
Сделать чертеж.
2. Составить уравнения катетов прямоугольного равнобедренного треугольника, зная уравнение гипотенузы 3x − y + 7 = 0 и координаты вершины
C(3; − 2) прямого угла.
3. |
Определить расстояние от точки M (2; −1) до прямой, |
отсекающей на |
осях координат отрезки a = 8 , b = 6 . |
|
|
4. |
Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от пря- |
|
мой x + 6 = 0 и от начала координат. Сделать чертеж. |
|
|
5. |
Точка P делит отрезок между фокусами гиперболы |
9x2 −16 y2 =144 , |
имеющей начало в фокусе с отрицательной абсциссой, в отношении 1: 4 . Составить уравнения перпендикуляров, опущенных из точки P на асимптоты гиперболы. Сделать чертеж.
6. Дано уравнение параболы |
y2 + 6x −8y + 22 = 0 . |
Сделать параллельный |
перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравне- |
||
ние параболы приняло вид x2 |
= ay или y2 = ax . |
Построить обе системы |
координат и параболу. |
|
|
7. Решить систему линейных алгебраических уравнений:
2x + 4 y + z −11 = 0,
2x +3y − z − 4 = 0,3x +3y − z = 0,
а) используя правило Крамера; б) используя матричный метод; в) используя метод Гаусса.
160 8. Даны векторы ar ={1; 4; 3}, b ={6; 8; 5}, c ={3; 1; 4}, dr ={21; 18; 33} в не-
котором базисе. Показать, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
9. Даны вершины A1 (6;1;1) , A2 (4; 6; 6) , A3 (4; 2; 0) , A4 (1; 2;6) пирамиды. Тре-
буется найти средствами векторной алгебры:
1)длину ребра A1 A2 ;
2)угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
3)площадь грани A1 A2 A3 ;
4)объем пирамиды;
5)уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .
Контрольная работа № 2
1. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):
а) |
lim |
x4 |
−3x + 2 |
|
; |
б) |
lim |
x2 −6x + |
5 |
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
2x2 −11x +5 |
|||||||||
|
x→∞ 6x |
4 + 3x +1 |
|
x→5 |
|
||||||||||
в) |
lim |
|
4x −3 −3 |
; |
г) |
lim |
x tg3x |
; |
|
|
|||||
|
x2 −9 |
|
1 − cos 6x |
|
|
||||||||||
|
x→3 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
lim(1+ |
3x) |
|
+2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Функция y = f (x) задана различными аналитическими выражениями для
различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.
|
cos x, |
x ≤ −π; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
−π < x ≤ 0; |
|
|
|
|
|
||||
y = −1, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
+1, |
x > 0. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Найти производные |
dy |
: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x 3 |
dx |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
y = |
|
|
; |
|
б) |
y = |
1+sin 4x − |
1−sin 4x ; |
|||
|
|
|
||||||||||
|
|
3 |
− 4x |
|
|
|
|
1 |
|
|||
в) |
y = ln |
e2 x + e−2 x ; |
г) |
y = |
x arccos |
; |
||||||
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
д) |
e y + ax2e−y = 2bx . |
|
|
|
|
|
||||||
161
4. Найти |
dy |
и |
d 2 y |
для функции, заданной параметрически: |
|
dx |
dx2 |
||||
|
|
|
x = 2t 2 − 4t 4 ,y = 2t3 .
5. Продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования:
а) |
y = xsin x |
3 |
; |
|
б) |
y = |
|
|
|
7 (x3 +10) |
3 |
|
. |
||||
|
|
|
(x |
2 +3)2 3 (x2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−9)2 |
||||||||
6. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя: |
|
|
|
|
|||||||||||||
а) |
lim |
ln(x −1) |
|
б) |
lim |
|
p |
|
|
q |
|
|
|||||
|
|
|
; |
|
|
|
− |
|
|
|
. |
||||||
ctg πx |
|
− x p |
|
− xq |
|||||||||||||
|
x→1 |
|
|
x→1 |
1 |
1 |
|
||||||||||
7. |
На линии |
y = x2 +3x +8 |
найти точку, в которой касательная к этой ли- |
||||||
нии перпендикулярна прямой |
x + 4 y −13 = 0 . |
|
|||||||
8. |
Исследовать методами дифференциального исчисления и построить гра- |
||||||||
фики функций: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
а) |
y = 2x3 −6x2 −18x +15 ; |
|
|
б) |
y = ln(x2 + 9) . |
|||
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
9. |
Вычислить приближенно с помощью дифференциала: |
||||||||
|
а) |
y = |
x2 + x + 3 , |
x =1,97 ; |
|
|
б) |
y = x7 , x =1,996 . |
|
10. |
Найти частные производные дz , |
дz |
функции z = z(x; y) : |
||||||
|
|
|
|
|
дx |
дy |
|
|
|
|
а) |
z = x2 y + xy2 ; |
|
|
|
|
б) |
z = arccos(xy) . |
|
11. а) Найти производную сложной функции |
z = f (ϕ(t);ψ (t)) : |
||||||||
|
|
|
f (x; y) = y arctg (xy) , |
|
ϕ(t) = t , ψ (t) = et . |
||||
|
б) |
Найти частные производные |
дz |
, |
дz |
сложной функции |
|||
|
дu |
дv |
|||||||
|
|
z = f [ϕ(u; v);ψ (u; v)]: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f (x; y) = x2e y , |
ϕ(u; v) = u + v , |
ψ (u;v) = u2 − v . |
|||||
12.Дана функция z = x2 − y2 +5x + 4 y и две точки A( 3; 2) и B(3,05; 1,98) . Требуется: