Вероятность ошибки 1-го рода, т. е. непринятие верной, называется уровнем значимости статистического критерия и обозначается α. Вероятность ошибки 2-го рода, т. е. принятие неверной гипотезы, обозначается β. Пользуясь терминологией статистического контроля качества продукции, можно сказать, что — это риск поставщика (выбраковка партии, удовлетворяющей стандарту), а β — риск потребителя (принятие партии, не удовлетворяющей стандарту).

Ясно, что при построении статистических критериев желательно, чтобы вероятности ошибок обоих родов были как можно меньше. Однако это требование противоречивое, т. к. невозможно одновременно уменьшить обе ошибки. Реально поступают следующим образом: задают уровень значимости (как правило, равный 0,05; 0,01 или 0,10, а затем выбирают статистический критерий так, чтобы ошибка 2-го рода была наименьшей.

Этапы в задаче проверки гипотез:

1)определение гипотезы H0 и ее альтернативы H;

2)установление уровня значимости (ошибки первого рода) с учетом односторонности альтернативы (в случае односторонней альтернативы 2 );

3)выбор критерия значимости (статистики) для проверки гипотезы.

1.6. Критерии значимости

Статистические критерии, с помощью которых проверяются гипотезы о значениях параметров распределения или о соотношения между ними предположении, чтовидраспределенияизвестен, называютсякритериямизначимости.

Статистические критерии, с помощью которых проверяются гипотезы о виде распределения, называются критериями согласия. Наиболее известными кри-

териямисогласияявляютсякритерий 2 Пирсона, критерийКолмогороваипр.

Рассмотрим критерии значимости, предназначенные для проверки гипотез овеличине параметров в случае выборок из нормального распределения, которое на практике встречается наиболее часто. Нормальное распределение имеет два

параметра: математическое ожидание μ и дисперсию 2, которые оцениваются

спомощьювыборочногосреднегоивыборочнойдисперсиисоответственно. Выборочное среднее является оценкой для среднего значения измеряе-

мой величины и может служить характеристикой того или иного показателя качества. Дисперсия описывает разброс экспериментальных значений, а следовательно, служит мерой точности. Например, если произведено несколько измерений одной и той же величины, то дисперсия может дать представление о точности прибора, методах измерения и т. д.

20

1.6.1. Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению

Нулевая гипотеза H0: μ = μ0. Альтернативная гипотеза H: μ ≠ μ0.

Требуется по выборке объема n проверить гипотезу H0 при заданном уровне значимости α. При этом полагается, что выборка взята из совокупности с нормальным распределением.

Если дисперсия σ2 известна, то гипотеза H0 принимается (т. е. согласуются с результатами наблюдений) при условии, что

где uα удовлетворяет соотношению Ф u 1 2 и определяется по прил. 1. Если дисперсия σ2 неизвестна, то гипотеза H0 принимается при

где 12 /2; n 1 и 2 /2; n 1 определяются по таблице распределения 2 (прил. 2).

1.6.3. Сравнение двух дисперсий нормально распределенных признаков

Проводится при сравнении точности приборов, инструментов, методов измерения. Лучшим будет тот, который дает меньший разброс результатов, т. е. меньшую дисперсию.

Нулевая гипотеза H0: 12 22. Альтернативная гипотеза H: 12 22.

21

1.6.5. Сравнение двух средних в случае независимых нормально распределенных признаков

Нулевая гипотеза H0: 1 2. Альтернативная гипотеза H: 1 2.

Требуется по выборкам объемов n1 и n2 проверить гипотезу H0 при заданном уровне значимости .

Если дисперсии 12 и 22 известны, то гипотеза Н0 принимается при условии, что

где uα удовлетворяет соотношению (u ) 1 2 и определяется по прил. 1.

Если дисперсии 12 и 22 неизвестны, но на основании проверки соответ-

ствующей гипотезы по критерию Фишера признаны однородными, то гипотеза H0 принимается при

где общая средневзвешенная дисперсия s2 вычисляется по формуле

s2 n1 1 s12 n2 1 s22

n1 n2 2

и имеет число степеней свободы f n1 n2 2; значение t , f определяется по прил. 3.

Если дисперсии 12 и 22 неизвестны и на основании проверки по крите-

рию Фишера признаны неоднородными, то проверка проводится по критерию Стьюдента, однако этот критерий является приближенным. В этом случае гипотеза H0 принимается, если

23