Ответы к задачам
7. |
|
73,75; s2 = 952,30; f = 19. 8. |
|
16,04; s2 = 4,27; ƒ = 149 9. |
|
x |
x |
||||
|
18470,23; s2 = 19,13. |
|
|
||
x |
|
|
|||
1.3.Выборочные распределения
Вдальнейшем, в частности, при нахождении интервальных оценок парамет-
ров, намнужнознать, какимраспределениямподчиняютсястатистики x и s2. Большинство статистических методов разработаны в предположении, что
результаты наблюдений являются независимыми, нормально распределенными случайными величинами. Запись N ( ; ) означает, что случайная величина
имеет нормальное распределение с математическим ожиданием M и дисперсией D 2. С нормальным распределением связаны наиболее часто
использующиеся в статистике распределения: 2 — распределение «хи-
квадрат», t — распределениеСтьюдента и F — распределение Фишера. Утверждение. В случае выборки объема n из нормального распределения
с известным математическим ожиданием и дисперсией
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
N (0,1). |
|
|
|
|
||||||
x N |
; |
|
|
; |
|
|
|
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
Распределением 2 с k степенями свободы называется распределение суммы квадратов k независимых случайных величин, распределенных по нормальному закону, т. е. 12 12 ... 12 k 2.
Утверждение. В случае выборки объема n из нормального распределения с неизвестным математическим ожиданием
(n 1)s2 |
2 . |
2 |
n 1 |
|
Распределением Стьюдента с k степенями свободы называется распре-
деление случайной величины t |
|
tk , где случайные величины ξ ~ N |
|
|
|||
/ k |
|||
|
|
(0;1) и η ~ 2k независимы.
Утверждение. В случае выборки объема n из нормального распределения и неизвестной дисперсией
|
x |
|
~ t |
. |
|
|
|
||
|
s2 / n |
n 1 |
||
|
|
|||
|
14 |
|
||
F-распределением Фишера с числами степеней свободы k1 и k2 назы-
вается распределение случайной величины F |
1 |
/ k1 |
~ F |
|
|
, где случайные |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n2 |
|
k k |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ k2 |
1 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
величины ~ 2 |
и |
~ 2 |
независимы. |
|
|
|
|
|
||
1 |
k2 |
2 |
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
Существуют таблицы распределений 2, Стьюдента, Фишера, а также нормального распределения (прил. 1, 2, 3, 4, 5).
1.4. Интервальное оценивание параметров распределения
Точечные оценки не дают информации о степени близости оценки к оце-
ниваемому параметру. Чтобы получить информацию о точности и надежности оценки, используют интервальные оценки.
Интервальной оценкой параметра называется интервал, границы ко-
торого ˆ1 ˆ1(x1, x2, ..., xn ) и ˆ2 ˆ2 (x1, x2, ..., xn ) являются функциями выбо-
рочных значений и который с заданной вероятностью накрывает истинное
значение оцениваемого параметра θ:
P(ˆ1(x1, x2, ..., xn ) ˆ 2 (x1, x2, ..., xn )) .
Интервал (ˆ1; ˆ 2 ) называется доверительным интервалом; число —
доверительной вероятностью или надежностью интервальной оценки; число 1 — уровнем значимости.
Величина доверительного интервала существенно зависит от объема выборки (уменьшается с ростом n, т. е. чем больше объем выборки, тем более точную оценку можно получить) и от доверительной вероятности (величина доверительного интервала увеличивается с приближением к 1, т. е. чем более надежный вывод мы хотим получить, тем меньшую точность можем гарантировать).
Доверительную вероятность обычно выбирают равной 0,90; 0,95 или
0,99, чтобы получить интервал, который с большой вероятностью накроет истинное значение оцениваемого параметра.
Доверительный интервал для математического ожидания в случае вы-
борки из нормального распределения с известной дисперсией 2 определяется соотношением
P |
x u |
|
x u |
|
|
1 , |
(5) |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n |
|
|
||
где — заданный уровень значимости; u |
— квантиль нормального рас- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
́ |
|
пределения, задаваемый формулой (u ) 1 2 и определяемый из таблицы функции Лапласа (прил. 1).
15
Доверительный интервал для математического ожидания в случае выборки из нормального распределения с неизвестной дисперсией определяется соотношением
|
s |
|
s |
|
|
|
P x t ; n 1 |
|
x t ; n 1 |
|
|
1 , |
(6) |
n |
|
|||||
|
|
n |
|
|
||
где — заданный уровень значимости; t , n 1 |
— квантиль распределения |
|||||
Стьюдента, удовлетворяющий соотношению P tn 1 t ; n 1 для случай-
ной величины tn 1, имеющей распределение Стьюдента с числом степеней
свободы n 1 (прил. 3).
Доверительный интервал для дисперсии в случае выборки из нормаль-
ного распределения с неизвестным математическим ожиданием определя-
ется соотношением
|
|
|
n |
1 s2 |
2 |
|
|
n 1 s2 |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
(7) |
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2; n 1 |
|
|
1 2; n 1 |
|
|
|
||
где — заданный уровень значимости; |
2 |
и 2 |
— квантили рас- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2; n 1 |
|
1 2; n 1 |
|
пределения |
2 |
, задаваемые формулой |
2 |
|
2 |
|
|||||
|
P n 1 |
; n 1 для случайной |
|||||||||
величины 2n 1 , имеющей распределение 2 с числом степеней свободы
n 1 (прил. 2).
Задача планирования эксперимента при построении доверительных интервалов заключается в том, чтобы определить объем выборки, необходимый для достижения заданной точности оценивания параметра при фиксированной доверительной вероятности . Так, в случае оценивания математического ожидания нормального распределения по неизвестной дисперсии для решения задачи достаточно
n0 |
s2t2; n 1 |
(8) |
|
2 |
|||
|
|
наблюдений, где n — объем выборки, по результатам которой делается вывод; s2 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по этой выборке.
Примеры решения задач
Задача 10. Оценить математическое ожидание нормального распределения с заданной надежностью , если:
1)среднеквадратическое отклонение = 2, по выборке объема 10 найдено выборочное среднее x = 5,4 ( = 0,95);
2)по выборке объема 9 найдены несмещенные оценки математического
ожидания и дисперсии: x = 14,2; s2 = 5,76 ( = 0,99).
16
Решение.
1. Поскольку дисперсия известна, построим доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения с помощью формулы
(5). Имеем:
n 10; x 5,4; 2; 1 0,05.
Квантиль u u0,05 определим из соотношения Ф u0,05 1 0,052 0,475.
Для этого по прил. 1 находим в столбце Ф(x) значение 0,475, тогда значение u0,05 получаем в соответствующем столбце x: u0,05 1,96.
Запишем доверительный интервал по формуле (5):
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
P |
5,4 |
1,96 |
|
5,4 1,96 |
|
|
0,95; |
|
10 |
10 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
P 4,16 6,64 0,95.
2. Поскольку дисперсия неизвестна и оценена по выборке, для построения доверительного интервала для математического ожидания нужно использовать формулу (6). Имеем:
n 9; |
x 14,2; s |
s2 |
5,76 2,4; 1 0,01. |
Квантиль t ; n 1 t0,01; 8 определим по прил. 3. В соответствии с определением квантиля t ; n 1 находим в верхней части таблицы значение 0,01, в столбце — значение = 8, на пересечении получаем t0,01; 8 3,36.
Запишем доверительный интервал по формуле (6):
|
3,36 |
2,4 |
14,2 3,36 |
2,4 |
|
0,99; |
P 14,2 |
9 |
9 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
P 11,512 |
16,888 0,99. |
|
|
||
Задача 11. Для определения прочности бетона было испытано три бетонных кубика. Результаты испытаний — 19,8; 20,1; 20,4 МПа. Сколько надо провести таких испытаний, чтобы с надежностью 0,95 ошибка при определении средней прочности была в пределах 0,2 МПа, если считается, что ошибки прибора нормальны?
Решение. Задача заключается в определении объема выборки, необходимого для достижения заданной точности 0,2. Имеем
0,95; 1 0,95 0,05; n 3; t0,05; 2 4,3.
Рассчитаем оценки для математического ожидания и дисперсии: x 13 19,8 20,1 20,4 20,1;
17