s2 |
|
1 |
|
19,8 20,1 2 20,1 20,1 2 20,4 20,1 2 |
0,09. |
|||
3 |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
По формуле (8) определяем, что |
|
|
||||||
|
|
|
|
n 0,09 4,32 |
41,602. |
|
||
|
|
|
|
0 |
0,22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Потребуется произвести 42 испытания.
Проверить, как изменится ответ, если принять надежность 0,90. Задача 12. При взвешивании груза получены следующие результаты:
129; 125; 130; 122; 135; 125; 120; 130; 127.
Определить среднюю квадратическую ошибку взвешивания и построить для нее доверительный интервал с надежностью 0,90.
Решение. n = 9; |
= 0,9; = 1 – 0,90 = 0,10. Рассчитаем оценки для ма- |
|||
тематического ожидания и дисперсии: |
|
|||
|
|
|
= 127; |
|
|
|
x |
||
|
s2 21; s |
21 4,58. |
||
Таким образом, средняя квадратическая ошибка взвешивания оценивается величиной s 4,58. Чтобы получить для нее доверительный интервал, построим доверительный интервал для дисперсии по формуле (7). По прил. 2 определим квантили распределения χ2:
2 |
|
0,05; 8 |
15,507; |
|
|
0,95; 8 |
2,7326. |
/2; n 1 |
|
|
1 /2; n 1 |
|
|
Доверительный интервал для дисперсии определяется по формуле (7):
|
|
8 21 |
2 |
|
8 21 |
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
0,90; |
||
15,507 |
2,7326 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
P 10,83 2 61,48 0,90 0,90.
Отсюда получаем доверительный интервал для среднего квадратического отклонения в виде
P |
10,83 |
61,48 0,90; |
P 3,3 7,8 0,9. = 0,90.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 13. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения с заданной надежностью γ, если:
1) среднее квадратическое отклонение известно: σ = 3, по результатам 25 независимых наблюдений найдено выборочное среднее x = 20,12 ( = 0,99);
18
2) по выборке объема 12 найдены несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии: x 16,8; s 2 2,25( 0,95).
Задача 14. По данным 16 независимых равноточных измерений физической величины найдены несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии: x = 23,161; s2 = 0,16. Требуется оценить истинное значение μ измеряемой величины и точность измерений σ с надежностью 0,95.
Задача 15. Даны результаты 5 независимых равноточных измерений толщины металлической пластинки: 2,015; 2,020; 2,025; 2,020; 2,015. Нужно:
1)оценить с помощью доверительного интервала истинную толщину пластинки при доверительной вероятности γ = 0,95;
2)найти минимальное число измерений, которое надо выполнить, чтобы
снадежностью 0,95 можно было утверждать, что предельная погрешность точечной оценки истинной толщины металлической пластинки не превышает
0,003.
Ответы к задачам
13. 1) 18,57 < < 21,67; 2) 15,85 < < 17,75. 14. 22,948 < < 23,374; 0,224; 0,576. 15. 1) 2,014; 2,024, 2) 16.
1.5. Проверка статистических гипотез
Основные задачи математической статистики разделяют на две категории, тесно связанные между собой:
1)оценивание параметров, т. е. получение по выборке оценок, наилучших
втом или ином смысле;
2)проверка гипотез, когда по выборке требуется принять или отвергнуть некоторое предложение о распределении, из которого извлечена выборка.
Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного распределения, проще говоря, это предположение относительно свойств совокупности, из которой производится выборка. Правило, которое позволяет по выборке принять или отвергнуть проверяемую ги-
потезу, называется статистическим критерием (статистикой).
Замечание. Статистическими методами нельзя доказать правильность гипотезы. Если по результатам проверки статистическая гипотеза принимается, то говорят, что она согласуется с выборочными данными (не противоречит результатам наблюдений).
Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой и обозначают H0. Наря-
ду с нулевой рассматривают альтернативную (конкурирующую) гипотезу. Нулевая и альтернативная гипотезы представляют собой две возможности выбора, осуществляемого в ходе проверки гипотез. Так как проверка гипотез основывается на полученных выборочных статистиках, вычисленных по
nнаблюдениям, то при принятии решений всегда возможны ошибки.
Взадачахпроверкигипотезвозможныследующиечетыреситуации(табл. 3).
19