ГЛАВА 1. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

1.1. Основные понятия

Совокупность, из которой производится отбор, называется генеральной, а все ее обобщающие показатели — генеральными. Совокупность отобранных единиц именуют выборкой, авсе ее обобщающие показатели — выборочными.

Выборка — необходимый для исследования минимум результатов (случаев, событий, образцов), отобранных с помощью определенной процедуры из генеральной совокупности. Элементы выборки называются выборочными значениями или вариантами. Количество проведенных наблюдений называется объемом выборки.

Поскольку некоторые значения выборки могут совпадать, то часто выборку представляют в виде статистического ряда, т. е. таблицы значений

( xi* ; ni ), где x1*, x2*, ..., xk* — различные элементы выборки, а ni — частота появления значения xi* в выборке (сумма всех частот равна объему выборки:

k

ni n) :

i 1

Вслучае выборки большого объема данные группируют и представляют

ввиде интервального статистического ряда.

Для графического изображения дискретных статистических рядов используется полигон. Полигоном частот (полигоном относительных частот)

называется ломаная линия с вершинами в точках (xi*;ni ) (соответственно

вточках xi*; ni ).

n

Для графического изображения интервальных статистических рядов ис-

пользуется гистограмма. Гистограмма частот (гистограмма относитель-

ных частот) — ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, постро-

6

При больших значениях n гистограмма относительных частот является хорошим приближением для графика плотности распределения наблюдаемой случайной величины. Поэтому по виду гистограммы можно выдвинуть предположение (гипотезу) о распределении изучаемой величины.

Эмпирическая функция распределения — это функция, которая опре-

деляется для каждого действительного x как относительная частота наблюдения значений, меньших х, т. е.

F*(x) ni .

n xi* x n

Эмпирическая функцияраспределенияобладает следующими свойствами:

1)принимает значения от 0 до 1: 0 Fn*(x) 1;

2)является неубывающей;

3) если xmin и xmax — наименьшее и наибольшее выборочные значения,

то Fn*(x) 0 при x xmin и Fn*(x) 1 при x xmax.

Замечание. При построении эмпирической функции распределения по интервальному статистическому ряду за случайную величину принимают середину интервала.

Эмпирическая функция распределения является приближением для теоретической функции распределения исследуемой случайной величины.

Примеры решения задач

Задача 1. Построить полигон частот и эмпирическую функцию распреде-

ления по выборке: 5; 2; 2; 1; 6; 3; 1; 2; 3; 5.

Решение. Подсчитав частоты наблюдения различных выборочных значений, составим статистический ряд:

Объем выборки равен сумме частот наблюдаемых значений n = 2 + 3 + 2 +

+2 + 1 = 10. Учитываяэто, запишемэмпирическуюфункциюраспределения. Наименьшее наблюдаемое выборочное значение — 1, поэтому эмпириче-

ская функция распределения равна 0 при x 1. Далее ее значение изменяется

7

каждый раз при переходе x через xi*, увеличиваясь на величину относитель-

ной частоты i nni . Наибольшее выборочное значение — 6, поэтому эмпи-

рическая функция распределения принимает значение 1 при x 6. Запишем эмпирическую функцию распределения:

Построим полигон частот (рис. 1) и график эмпирической функции распределения (рис. 2).

Задача 2. Построить гистограмму относительных частот и эмпирическую функцию распределения по данному интервальному статистическому ряду:

строения эмпирической функции распределения найдем середины интервалов xi и относительные частоты nni ; для построения гистограммы относи-

тельных частот рассчитаем для каждого интервала значение nhni . Заполним таблицу (табл. 1).

8

Запишем эмпирическую функцию распределения:

Построим график эмпирической функции распределения (рис. 3).

Рис. 3

Построим гистограмму относительных частот (рис. 4).

Рис. 4

По виду гистограммы можно предложить, что выборка взята из нормального распределения.

9