Для проверки однородности полученных трех дисперсий применим кри-

уровне значимости 0,05 следует признать воспроизводимым. Рассчитаем дисперсию воспроизводимости по формуле (39):

Ее число степеней свободы равно fвоспр 1 2 1 4.

Задачи для самостоятельного решения

В задачах требуется:

1)проверить гипотезу о воспроизводимости эксперимента при уровне значимости 0,05;

2)вычислить дисперсию воспроизводимости и найти число степеней сво-

боды (табл. 28—31).

Задача 52

Задача 53

Задача 54

67

Задача 55

Ответы к задачам

быть проверена по критерию Кочрена: Gрасч 0,29 G0,05; 8; 5 0,4387 или

3.8. Проверка адекватности эмпирического уравнения регрессии

После определения по результатам эксперимента коэффициентов эмпирического уравнения регрессии нужно проверить соответствие полученного уравнения данным эксперимента. Цель этой проверки — выяснить, соответствует ли полученная регрессионная модель реальной функции отклика, описывающей данное явление; будет ли эмпирическое уравнение регрессии предсказывать значения отклика с той же точностью, что и результаты эксперимента.

Пусть по результатам N различных опытов, каждый из которых проведен соответственно k1, k2, …, kN раз, получено уравнение регрессии

yˆ b0 X0 b1X1 bk X k .

зываемое по полученному уравнению регрессии для i-го опыта; yi — среднее наблюдаемых значений отклика в i -м опыте.

68

Дисперсия адекватности характеризует расхождение между результатами эксперимента и значениями yˆ и вычисляется по формуле

где N d fад — число степеней свободы дисперсии адекватности; N —

число различных опытов; d — число коэффициентов проверяемого уравнения регрессии, которые определялись по результатам эксперимента; ki —

число повторений i-го опыта.

Модель признается адекватной, т. е. удовлетворительно описывает исследуемую зависимость отклика от факторов, если расхождение между результатами эксперимента и значениями, полученными по уравнению регрессии, вызвано только ошибками эксперимента, а не связано, например, с неудачным выбором вида математической модели. Поэтому для проверки адекватности модели сравнивают дисперсию адекватности и дисперсию воспроизводимости, которая характеризуетточностьэкспериментальногоопределениязначенийотклика.

Проверка адекватности модели производится по критерию Фишера. Поскольку в случае неадекватной модели можно ожидать значительных расхождения между yˆi и результатами эксперимента, то дисперсия адекватности, как

правило, значительно больше, чем дисперсия воспроизводимости. Гипотеза об адекватности модели при заданном уровне значимости принимается, если

В случае неадекватности модели принимают одно из следующих решений:

1)переход к более сложной модели;

2)уменьшение диапазона изменения факторов, т. е. сужение области исследования.

Замечание. Проверка адекватности возможна только для ненасыщенного плана, т. е. когда N d.

Примеры решения задач

Задача 56. Для условия задачи 40 проверить адекватность линейного уравнения регрессии при уровне значимости 0,05.

Решение. В условии задачи 40 даны результаты эксперимента, состоящего из 4 различных опытов, продублированных неравномерно. В задаче 41 оценена воспроизводимость этого эксперимента и рассчитана дисперсия воспро-

В задаче 40 получено линейное уравнение регрессии: yˆ 4,875 1,875х1 3,5х2.

69

Рассчитаем по этому уравнению значения отклика для каждого опыта, подставляя соответствующие значения факторов:

yˆ 4,875 1,875( 1) 3,5( 1) 0,5; yˆ 4,875 1,875(1) 3,5( 1) 3,25; yˆ 4,875 1,875( 1) 3,5(1) 6,5; yˆ 4,875 1,875(1) 3,5(1) 10,25.

Данные эксперимента и результаты расчетов удобно оформить в виде следующей таблицы, в которой количество строк равно количеству различных опытов (табл. 32).

Вычислим дисперсию адекватности по формуле (42):

sад2 4 1 3 (2,25 1 0,5625 2 0,25 3 0,5625 2) 5,25.

Ее число степеней свободы fад 4 3 1.

Проверим гипотезу об адекватности модели по критерию Фишера. Поскольку

Fрасч 2,6255,25 2 Fтабл F0,05; 1; 4 7,71,

то полученное уравнение регрессии на уровне значимости 0,05 можно

признать адекватным.

Задача 57. В пункте 2 задачи 38 проверить адекватность уравнения регрессии при уровне значимости 0,05, считая, что каждое значение yi есть сред-

нее из 3 параллельных опытов и дисперсия воспроизводимости s2 y 2.

Решение. В задаче 38 даны результаты эксперимента, состоящего из 4 различных опытов. В условии указано, что каждый из этих опытов повторен 3 раза, т. е. имеет место равномерное дублирование опытов. В этом случае дисперсия воспроизводимости рассчитывается по формуле (37). Следовательно, дис-

персия s2 y 2 имеет число степеней свободы fвоспр 4(3 1) 8. В пункте 2 задачи 36 получено следующее уравнение регрессии:

yˆ 4,73 4,13х1х2 1,04х22.

70