3.5.Полный факторный эксперимент типа 2k

3.5.1.Матрица полного факторного эксперимента в общем виде

В общем виде матрица полного факторного эксперимента с n факторами имеет вид

Первый этап планирования эксперимента для получения линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях. В этом случае, если число факторов известно, можно сразу найти число опытов, необходимое для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов. Простая формула, которая для этого используется, уже приводилась в п. 1, и мы ее напомним:

N 2k , где N — число опытов; k — число факторов; 2 — число уровней.

В общем случае эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом. Если число уровней каждого фактора равно двум, то имеем полный фак-

торный эксперимент типа 2k.

3.5.2. Матрица планирования эксперимента 22

Записываем все сочетания уровней в эксперименте с двумя факторами. Напомним, что в планировании эксперимента используются кодированные значения факторов: +1 и –1 (часто для простоты записи единицы опускают). Условия эксперимента можно оформить в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы — значениям факторов. Будем назы-

вать такие таблицы матрицами планирования эксперимента.

Матрица планирования для двух факторов приведена в табл. 17. Каждый столбец в матрице планирования называют вектор-столбцом, а каждую строку — вектор-строкой. Таким образом, в табл. 17 мы имеем два вектора-столбца независимых переменных и один вектор-столбец параметра оптимизации.

То, что записано в этой таблице в алгебраической форме, можно изобразить геометрически.

Номера вершин квадрата соответствуют номерам опытов в матрице планирования. Площадь, ограниченная квадратом, называется областью эксперимента. Иногда удобнее считать областью эксперимента площадь, ограни-

57

ченную окружностью, описывающей квадрат. В задачах интерполяции область эксперимента есть область предсказываемых значений y.

Запись матрицы планирования, особенно для многих факторов, громоздка. Для ее сокращенияудобно ввести условные буквенные обозначения строк.

Это делается следующим образом. Порядковый номер фактора ставится в соответствие строчной букве латинского алфавита: x1 a, x2 b и т. д. Если для

строки матрицы планирования выписать латинские буквы только для факторов, находящихсянаверхнихуровнях, тоусловияопытабудутзаданыоднозначно.

3.5.3. Проведение эксперимента

Без ограничения общности можно считать, что кодированные значения xi принимают значения –1 и +1 соответственно (принято обозначать – или +). Множество всех точек в k-мерном пространстве, координаты которых являются комбинациями + и –, называется полным факторным планом или планом полного факторного эксперимента типа 2k (ПФЭ). Количество то-

чек в этом плане N = 2k.

Для примера возьмем полный факторный эксперимент с тремя независимыми переменными x1, х2 и x3, (табл. 18).

Второй, третий и четвертый столбцы таблицы соответствуют собственно плану экспериментов, с пятого по восьмой столбцы содержат значения произведений независимых переменных. Фиктивная переменная x0 = 1 (первый столбец) введена для единообразия записи расчетных формул коэффициентов полинома. Строки соответствуют опытам, например, первая строка характеризует эксперимент, вкоторомвсенезависимыепеременныенаходятсянанижнемуровне.

Существует несколько способов построения подобных матриц планирования. В частности, можно воспользоваться приемом, характерным для записи последовательности двоичных чисел. В столбце последней переменной x3 знаки меняются поочередно, в столбце предпоследней переменной x2 — чередуются через два элемента, третьей справа переменной x1 — через четыре элемента. Аналогично строится матрица для любого количества переменных, порядок перечисления переменных не играет роли. Столбцы с произведениями переменных вычисляются путем умножения значений элементов в соответствующих столбцах простых переменных.

58