1.4. Свойства операций над множествами

Чтобы записывать и преобразовывать теоретико-множественные

выражения, необходимо знать свойства операций над множествами.

Основные из этих свойств следующие.

I. Коммутативность

AB B A; AB B A.

2. Ассоциативность

^A^{B C}^^AB^{A; A}^{B C}^^AB^A.

3. Дистрибутивность

^{А }^{В С}

^{А }^{В С}

^^{А В}^^AC^;

^^{А В}^^AC^.

4. Законы де Моргана

AB A B; AB A B.

5. Идемпотентность

AAA

6. Законы поглощения

A_AB_A; A_AB_A.

7. Закон двойного дополнения:

A A.

8. Операции с универсальным и пустым множествами: AU U ; A; AA;

AU A; AA U ; AA .

Если внимательно рассмотреть свойства теоретико-множествен-ных операций, то можно сформулировать правило, известное как принцип двойственности.

Теоретико-множественное выражение, содержащее операции объ-

единения, пересечения , дополнения , а также универсальное множество U и пустое множество , останется справедливым, если в нем произвести следующие замены

; ; U; U ; .

Все перечисленные выше свойства могут быть доказаны по одной

схеме. Суть ее в следующем.

Пусть требуется доказать теоретико-множественное равенство M N , где M и N есть некоторые множества.

Первая часть доказательства будет состоять в том, чтобы показать, что если некоторый элемент принадлежит множеству M , то он также

принадлежит множеству N . Этим будет доказана справедливость со-отношения M N .

Вторая часть доказательства состоит в необходимости показать, что если некоторый элемент принадлежит множеству N , то он также принадлежит множеству M . Этим будет доказана справедливость со-отношения N M .

Из соотношений M N и N M следует, что M N .

Пример. Пусть требуется доказать, что

^{А }^{В С}^^{А В}^^AC^.

Очевидно, что здесь M A_B C_и N _А В__AC_.

1. Проводим доказательство «слева направо» (=>).

Пусть имеется элемент х такой, что xM . Тогда из определения

операции объединения следует, что этот элемент принадлежит мно-^{жеству A} ^xA^{или (здесь имеем не исключающее «или») множеству}

^{B C} ^{xB C}^.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

^{а) Если} ^xA^{, то, по определению операции объединения, имеем} xAB и xAC.

Следовательно, этот элемент будет общим для этих множеств, то есть x_А В__AC_.

Иначе говоря, для данного случая доказано, что M N .

б) Если xB C , то элемент x является общим для каждого из множеств В и С, то есть xB и xC . Но тогда будем иметь, что

xA и AC. Следовательно, x_А В__AC_. Другими сло-вами, и для данного случая M N .

2. Проведем теперь доказательство «справа налево» (<=). Пусть xN . Тогда, по определению операции пересечения, можно записать, что xAB и xAC.

Рассмотрим два случая.

^{а) Предположим, что xA. Тогда очевидно, что xA}^{B C}^. Следовательно, xM и мы имеем в этом случае N M .

б) Предположим, что xA. В этом случае из выражения для N за-

ключаем, что элемент х является общим для множеств В и С, то есть ^{xB C. Но тогда xA}^{B C}^{, таким образом и в этом случае} N M .

Так как мы доказали, что M N и N M N, то это может быть только тогда, когда M N .

Лекция 3

Упорядоченные множества. Прямое произведение множеств

3.1. Упорядоченные множества

Во многих приложениях необходимо использовать множества,

у которых следует учитывать порядок записи элементов. Например,

точка в двумерном пространстве (на плоскости) задается двумя ко-^{ординатами} ^{х, у}^{. Очевидно, что это разные точки, если координа-}

ты их не равны, даже при условии, что элементы этих двух элемент-^{ных множеств одинаковы} ^{2, 5}^и ^{5, 2}^{(см. рис. 3.1).}

Рис. 3.1. Точки, определяемые их координатами

Другие примеры упорядоченных множеств: любой список (очередь) —

на защиту диплома, получение льгот; множество операторов программы

и т.п.

Наиболее простым упорядоченным множеством является

двухэлементное множество, которое называют двойкой или упорядоченной

парой. Элементы упорядоченного множества обычно заключают в круглые ^{или угловые скобки. Например,} ^{2, 5}^{или < 2;5 >.}

^Если ^{a, b}^{— упорядоченная пара, то элемент a называют первым} элементом или первой компонентой этой пары, а элемент b — вторым

элементом или второй компонентой этой же пары.

Каждое упорядоченное множество можно определить с помощью

неупорядоченных множеств. Например, двойку определяют так ^a,b^^,  ^.

Тройку определяют через двойку ^{a,b,c}^a,b,c^.

Аналогично, n-ку определяют через двойку

^₁^{, a}₂^{,, a}_n ^^₁^{, a}₂^{,, a}_n1^{, a}_n ^.

3.2. Прямое произведение множеств

Введенное понятие упорядоченного множества позволяет опреде-

лить новую операцию на множествах.

Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называют ^{Множество С АВ, состоящее из всех упорядоченных пар} ^{a, b}^та-

ких, что aA, bB, то есть

С АВ _a,b_|aA,bB_. ^{Например, пусть А }^{х, у}^{и В  1,2,3 . Тогда}

^{AB }^{x,1 ,}^{x, 2}^,^x,3^,^{y,1 ,}^y,2^,^y,3

Имеется графическая интерпретация прямого произведения мно-

^{жеств. Пусть множество A}^{x|a x b есть интервал значений пере-}менной x и B _y|c y d_есть интервал значений y. Ясно, что множе-

ства A и B имеют бесконечное число элементов. Тогда прямое (декарто-





a

a,b

a

a

















во) произведение множеств A и B есть множество точек прямоуголь-

ника, изображенного на рис. 3.2

^{AB }^{x, y, xA, yB}^.

Рис. 3.2. Декартово произведение множеств A и B

Если имеется прямое произведение нескольких одинаковых мно-

жеств, то такое произведение кратко записывают так AAA² ,



AAA A³ и т.д.

Лекция 4 5 6

Алгоритмы упорядочивания множества