7.3. Операции над бинарными отношениями

Так как всякое бинарное отношение — это множество упорядоченных

пар, то над бинарными отношениями можно выполнять все теоретико-

множественные операции: объединение, пересечение, разность, дополнение.

Если R — бинарное отношение, то в качестве универсального

множества в этом случае рассматривают множество ^{U F}^R^F^R^,

^{где F}^R^{— поле отношения R. Если совместно рассматривается несколько}

бинарных отношений, то в качестве универсального множества рассматривают множество U AA, где А есть объединение полей

каждого из рассматриваемых отношений.

Например, пусть рассматриваются отношения

R = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,3)} и

S= {(1,1), (2,2), (3,3)}.

В этом случае универсальное множество имеет вид

U={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), 3,3)}.

Тогда результаты некоторых теоретико-множественных операций

будут следующими

^{R } ^, ^2,2^, ^2,3^,  ^, ^3,2^;

^{S } ^,  ^,  ^, ^2,3^,  ^, ^3,2^{; R/S }^, ^;

^{R S } ^, ^3,3^.

Кроме обычных теоретико-множественных операций, над бинар-

ными отношениями определяют специальную операцию.

Композицией бинарных отношений R и S называют бинарное отно-^{шение Т, состоящее из всех упорядоченных пар} ^a,b^{, для каждой из}

которых существует элемент

cR S_

такой, что

^a,c^R, ^c,b^S

(то есть aRc, cSb). Операцию композиции записывают так T R S .

Например, пусть

R = {(1,1), (1,2), (2,3), (3,3)} , S = {(2,4), (2,5), (3,2), (5,5)} .

Тогда





3,1

2,1





2,1

1,3

1,2

3,1





1,2

1,3





1,1









1,4

1,5

T R S _{ },_{ },_2,2_,_3,2_, S  R _3,3 _.

Лекция 8

Отношения эквивалентности и порядка

(Свойства бинарных отношений)

8.1. Свойства бинарных отношений

Бинарное отношение R называют рефлексивным, если для любого ^{элемента поля aF}^R^R _^{имеет место аRa.}

Примерами рефлексивных отношений могут служить отношение

подобия ( ~ ), отношение параллельности (||), диагональное отноше-^{ние на множестве А }^а,b,с

^_A ^^а,a^, ^b,b^, ^{с, с}^.

Бинарное отношение R называют антирефлексивным, если для лю-бого элемента поля aF_R_имеет место aRa.

Примерами антирефлексивных отношений являются отношения ^{порядка (<), (>), отношение перпендикулярности} ^^.

Если задано бинарное отношение

R _a,a),_a,b_,_b,b_,_a,c_,(c,c _,

то это отношение рефлексивно, а бинарное отношение ^{R }^{a,b),b,c,b,b,(a,c} 

— нет.

Бинарное отношение

R {(a,b)(b,c),(a,c)}

антирефлексивно.

Бинарное отношение R симметричное, если из aRb следует bRa.

R













1





2

3

^Примерами таких отношений являются отношение равенства (=), ^{подобия ( ~ ), диагональное отношение} ^_A ^{, отношение перпендику-лярности} ^^{, отношение параллельности (||).}

Бинарное отношение R асимметрично, если из aRb следует bRa.

Асимметричными являются отношения порядка (<), (>).

Бинарное отношение R называют антисимметричным, если из aRb и bRa следует, что a b. Заметим, что антисимметричное отношение отличается от асимметричного лишь тем, что в антисимметричном отношении допускается существование упорядоченной пары с оди-

наковыми компонентами.

Так, бинарные отношения

^{S }^a,a^,^b,b^,^c,cи

^S₂ ^^a,a^,^a,b^,^a,c^,^b,a^,^c,a— симметричны.

С другой стороны, бинарные отношения

^{S }^a,a^,^b,b^,^c,c

и

^S₃ ^^{a,b,a,c,a,a,b,c}

— антисимметричны.

Отсюда следует, что одно и то же бинарное отношение может быть

одновременно как симметричным, так и антисимметричным (см. би-

нарное отношение S .

Бинарное отношение R называют транзитивным, если из aRb и bRc следует, что aRc. В противном случае отношение R называют нетранзитивным.

Примерами транзитивных отношений являются отношение ра-^{венства (=), отношение подобия ( ~ ), диагональное отношение} ^_A ^{, отношения порядка (<), (<), (>), (>),} ^^{, отношение параллельно-}

сти (||). Примерами транзитивных отношений также могут служить





1









1



1

1

отношения S и S₃.

В зависимости от свойств, которыми обладают бинарные отноше-

ния, выделяют и исследуют различные типы отношений. Наиболее

известные из них — отношения эквивалентности и порядка.