1.2. Подмножества

Пусть имеется некоторое множество A. Иногда требуется рассмат-

ривать не все элементы множества A, а только часть этих элементов.

Ясно, что часть элементов множества A также образует множество. Та-

кое множество называют подмножеством множества A.

Строго говоря, множество A является подмножеством множест-

ва A если каждый элемент множества A является также элементом

множества A, что записывают A A и читают « A есть подмножество

множества A» или « A содержится в A».

Исходя из определения подмножества можно заключить, что само

множество А является собственным подмножеством, то есть можно записать, что AA. Чтобы подчеркнуть тот факт, что рассматриваемое подмножество A множества A может совпадать с множеством А, отно-

шение «быть подмножеством» записывают также A A.

Из определения следует, что A, то есть пустое множество явля-

ется подмножеством любого множества А .

Пусть имеется множество всех подмножеств множества А. Такое

множество называют булеаном или множеством-степенью и обозна-

чают

2^A .

Пусть, например, имеется множество А  1,2,3 . Тогда множест-

во-степень (булеан) этого множества имеет следующий вид

1

1

1

1

1

1

1



















,

2

1

3

^{2A } ^{,,, 1, 2 , 1, 3 , 2, 3 , 1, 2, 3} 

Важным понятием в теории множеств является понятие универсаль-

ного множества, или универсума. Универсальным называют множест-

во, элементами которого являются все множества некоторой задачи

или теории. Будем обозначать универсальное множество знаком U. Ясно, что если А и В есть любые два множества, то A B U .

Для наглядного изображения множеств используют диаграммы Эй-

лера—Венна. На каждой такой диаграмме прямоугольником изобража-

ют универсальное множество U. Все другие множества, которые явля-

ются подмножествами универсального множества, изображают внутри

прямоугольника в виде некоторой его части, ограниченной замкнутой

линией. Обычно такие множества изображают как окружности или

овалы внутри прямоугольника.

Рис. 1.1. Диафамма Эйлера—Венна

На рис. 1.1 представлена диаграмма Эйлера—Венна. Из этой диа-

граммы видно, что множество В является подмножеством множест-

ва А. Множества С и D не имеют общих элементов с множествами А

и В. Множества С и Д напротив, имеют общие элементы, принадле-

жащие как множеству С, так и множеству D.

Лекция 2

1.3. Операции над множествами

На множествах определяют некоторые теоретико-множественные

операции. Результат таких операций — новое множество. Рассмотрим

наиболее важные из этих операций.

Объединением множеств А и В называют множество С, состоящее из

элементов, принадлежащих множествам А или В, что обозначается

C AB.

Таким образом, множество С можно задать следующим образом

^{С }^{с \ сА или сВ .}

Результат операции объединения можно изобразить графически

диаграммой Эйлера—Венна. Результат операции объединения мно-

жеств А и В представлен на рис. 1.2 в виде заштрихованной области.

Рис. 1.2. Результат объединения множеств C AB

Пересечением множеств А и В называют множество С, состоящее из



элементов, которые являются общими для множеств А и В. Обозначают так

С АВ.

Множество С можно задать также следующим образом

С с|сАи сВ .

Результат операции пересечения множеств А и В можно предста-

вить на диаграмме Эйлера—Венна как общую часть кругов, изобра-

жающих эти множества. Эта область на рис. 1.3 заштрихована.

Рис. 1.3. Результат пересечения множеств С АВ

Разностью множеств A и В называют множество С, состоящее из

таких элементов множества А, которые не являются элементами мно-

жества В. Обозначают так

С А \ В.

Множество С можно задать также следующим образом

С _с|сА и сВ .

Результат операции разности множеств А и В представлен на диа-







грамме Эйлера—Венна как часть множества А, которая не имеет об-

щих элементов с множеством В (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Результат разности множеств С А \ В

Дополнением множества А называют множество A, которое являет-

ся разностью универсального множества U и множества A, то есть

A U \ A.

Множество A можно задать следующим образом

^{A }^{c|cA .}

Дополнение множества А представлено на диаграмме Эйлера—

Венна как часть множества U, которая не имеет общих элементов

с множеством А. Эта область на рис. 1.5 заштрихована.



Рис. 1.5. Дополнение множества А