Введение в теорию множеств

Лекция 1

Множества и операции над ними

1.1. Понятие множества и способы его задания

Понятие множества является первичным в математике, поэтому

оно не может быть определено с помощью других, более простых по-

нятий. Интуитивно множество рассматривают как нечто целое, со-

стоящее из объектов, которые называют элементами.

Георг Кантор, создатель теории множеств, говорил, что

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое».

Иногда множество рассматривают как объединение различных

объектов, обладающих каким-то общим признаком. Природа этих

объектов может быть произвольной: атомы, галактики, буквы, люди,

животные, числа, книги и т.п.

В любом языке существует много синонимов, эквивалентных по-

нятию множества. Например, такими синонимами являются область,

класс, совокупность, система, бригада, коллекция, толпа, библиотека

и т.п. Многие из этих понятий используются для обозначения мно-

жеств специального вида. Так, говорят о коллекции марок, о бригаде

людей, но не говорят о коллекции людей или бригаде марок.

Множества обычно обозначают большими буквами латинского

алфавита: А, В, С,.... Если необходимо, то используют индексы при

обозначении множеств: A , C₃ и т. д. Для обозначения элементов мно-

жеств используют, как правило, малые буквы латинского алфавита: а,

1

1

b, с,..., также, возможно, с индексами: a , a₂ и т. д.

Тот факт, что среди элементов множества A имеется элемент а, за-писывают как aAи читают «элемент а принадлежит множеству A», или а есть элемент А. Здесь есть символ принадлежности. Если эле-мент а не входит в состав множества А, записывают aA и читают «элемент а не принадлежит А».

Обычно полагают, что всякое множество может иметь лишь один

экземпляр одного и того же элемента, если иное не оговорено. Иногда

рассматривают случай, когда множество А имеет несколько экземп-

ляров одного и того же элемента, в этом случае множество называют

мультимножеством.

Способы задания множества могут быть различными, и выбор спо-

соба зависит как от количества элементов, из которых состоит множе-

ство, так и от природы этого множества.

Наиболее простой способ задать множество — перечислить все со-

ставляющие его элементы

А _а , а₂, а , а_4.

Это задание множества в явной форме. Элементы множества при перечис-

лении заключаются в фигурные скобки, как это показано выше.

Заметим, что порядок записи элементов множества в таком случае

может быть произвольным.

В общем случае, если множество имеет много элементов, то явное

задание такого множества громоздко или невозможно. Например, не-

возможно составить список всех целых четных чисел. Поэтому мно-

жество можно задать, указав условие, или свойство P(x), которому

должны удовлетворять все элементы x задаваемого множества. Свой-

ство P(x) называют также предикатом. Это свойство позволяет из всей

3

1

совокупности объектов любого происхождения распознать элементы

данного множества.

Пусть это свойство задано предикатом P(x), который является со-

кращенной записью предложения «x есть четное число». В этом слу-

чае множество записывают следующим образом

^{А }^{х| Рх} ^.

Такая запись читается так: множество А состоит из элементов х та-

ких, что P(x) (что х есть четное число). Вместо вертикальной черты,

отделяющей обозначение элемента множества от свойства элементов

множества, используется также двоеточие.

Иногда свойство, которым обладают элементы рассматриваемого

множества, задают формулой

A {x|0x 1, xR}.

Здесь R обозначает множество всех действительных чисел.

^{Множество А }^{а| а2 4а 3 0 состоит из корней} квадратного уравнения а² 4а 3 0; множество А = {x\Q<x<\,x aR}

^{А }^{x|0 x 1,xR имеет бесконечное число элементов.}

В математике рассматривается также множество, не имеющее эле-

ментов. Такое множество называют пустым и обозначают . Напри-

^{мер, множествоA }^{х| х2 1,хR}^{. Здесь R —множество дейст-}

вительных чисел.

Множества между собой могут находиться в различных отноше-

ниях.







Два множества А и В называют равными, если они состоят из одних

и тех же элементов. Этот факт записывают так А = В.