Прямолинейные колебания материальной точки. Некоторые виды колебаний.

Существуют в природе силы, которые всегда стремятся вернуть тело в положение равновесия. Такие силы называются восстанавливающими. Модуль этих сил зависит от величины смещения тела от равнoвecного положения, а направлены они всегда в сторону равновесного состояния. Под действием таких сил тело может совершать колебательные движения.

Например:

­– восстанавливающая сила

– восстанавливающая сила (архимедова) изменение весового водоизменения

Кроме восстанавливающих сил на тела могут действовать другие внешние силы и силы сопротивления .

Вид колебательного движения тела зависит от того, какие из этих сил на него действуют и их соотношения.

Мы рассмотрим случаи простейшие: колебания прямолинейные, когда – восстанавливающая сила, – сила сопротивления, – возмущающая сила.

1. Действует только

Дифференциальное уравнение движения:

– свободные колебания.

2. Действуют силы: и

Дифференциальное уравнение движения:

– свободные колебания при вязком сопротивлении.

3. Действуют силы: и

Дифференциальное уравнение движения:

– вынужденные колебания.

4. Действуют силы: ; ; .

Дифференциальное уравнение движения:

– вынужденные колебания при вязком сопротивлении.

Явление колебаний (колебательные процессы) имеет место во многих отраслях: радиотехника, акустика и т.д. Природа этих колебаний различна, но законы у них одинаковы, значение изучения колебаний выходит за рамки этого курса.

В механике возможны непрямолинейные колебания точки, колебания тел и системы тел. Для всех случаев изменятся параметры характеризующие движение и их число, а дифференциальные уравнения будут такого же вида.

Свободные колебания.

На материальную точку действует только восстанавливающая сила , где

с – коэффициент пропорциональности (жесткости).

Дифференциальное уравнение движения:

Обозначим , тогда (А)

Т.о. дифференциальное уравнение движения в этом случае является линейным, однородным, второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения:

, а корни

– числа мнимые, тогда общее решение уравнения (А) будет:

(А^/)

здесь А₁ и А₂ – постоянные интегрирования.

Чтобы проще представить движение заменим постоянные

, тогда

или

(А^//)

Здесь постоянными интегрирования являются и , которые определяются из граничных условий – начальным положением точки и её начальной скоростью . Уравнение (А^//) показывает, что под действием только восстанавливающей силы материальная_точка совершает гармонические колебания. Такие колебания называются свободными.

Величина "k" называется частотой (угловой, круговой, циклической). Определяет число колебаний совершаемых точкой за промежуток времени сек. "k" зависит от свойств системы (m и с) и называется собственной частотой.

Наибольшее отклонение от положения равновесия называется амплитудой (А), аргумент – фаза, – начальная фаза.

Определим постоянные и из начальных условий

Решение этой системы даст

Графически зависимость (А^//) можно показать:

График показывает, что свободные колебания – периодичны. За период (Т) совершается полный цикл движения. Определим Т:

, откуда ,

Период Т, как и частота k не зависят от граничных условий, а являются характеристиками системы, зависят от её параметров m и с.

Т увеличивается с увеличением массы m и уменьшением k коэффициента пропорциональности.

Определим влияние постоянной сила на свободные колебания

материальной точки.

Дифференциальное уравнение движения:

, где

тогда

, или

Получим дифференциальное уравнение движения, аналогичное (А).

Т.о. постоянная по модулю и направлению сила не изменяет характера движения материальной точки под действием восстанавливающей силы . Изменяется только центр колебаний ( ).

Свободные колебания при наличии вязкого сопротивления.