6. 3. Синтаксис реляционной алгебры

Сейчас самое время ввести конкретный синтаксис для операций реляционной алгебры (см. BNF-грамматику на рис. 6. 2). Обратите внимание, что синтаксис не рассматривается в качестве серьезного кандидата для языка конечного пользователя, он не особенно дружественный, а используется как надежная основа для обсуждения операторов в оставшейся части главы и, конечно, его можно было бы сделать более дружественным с помощью соответствующего «синтаксического сахара». И действительно, несколько позже в этой главе будут предложены наши собственные простые усовершенствования.

expession

::= monadic- expression I dyadic- expression

monadic- expression

::= renaming I restriction I projection

renaming

::= term RENAME attribute AS attribute

term

::= relation I (expression)

restriction

::= term WHERE condition

projection

::= term I term [ attribute-commalist ]

dyadic- expression

::= projection dyadic-operation expression

dyadic- operation

::= UNION I INTERSECT I MINUS I TIMES I JOIN I DIVIDERY

Рис. 6. 2. BNF-грамматика для реляционной алгебры

Несколько замечаний по грамматике

1. В главе 4 приводилось объяснение условным объяснениям типа «commalist» (что означает список, разделенный запятыми).

2. Обозначения relation (отношение) и attribute (атрибут) определяются как идентификаторы, которые представляют собой соответственно имя отношения и имя атрибута.

3. Объяснение обозначения condition (условие) приводится ниже в этой главе.

В определенной выше грамматике для обеспечения правильного порядка в вычислениях сложных выражений необходимо часто использовать скобки. Ниже в этой главе описаны некоторые упрощения, во многих случаях позволяющие уменьшить общее количество скобок. Об одном из таких упрощений, а именно о множественном переименовании, мы поговорим прямо сейчас. Рассмотрим следующий пример:

(S RENAME CITY AS SCITY) RENAME S# AS SNUM

Как указывалось ранее, внутреннее выражение служит для вычисления отношения с телом, таким же как и у отношения S, но имеющим атрибут города с именем SCITY, а не CITY; а общее выражение — соответственно для вычисления отношения с таким же телом, но дополнительно с измененным именем атрибута номера поставщика S# на SNUM. Чтобы можно было переименовать несколько атрибутов за один раз, не исполь­зуя многоуровневые вложенные выражения, вводится расширенная версия оператора rename, в которой предыдущий пример будет выглядеть следующим образом:

( S RENAME CITY AS SCITY, S# AS SNUM )

Иными словами, другой допустимый синтаксис для этой синтаксической катего­рии переименования таков:

( term RENAME rename-commalist)

Здесь обозначение commaiist (как указывалось выше) означает список через запятую, а rename означает, что каждый из элементов этого списка представляет собой выражение attribute AS attribute

6. 4. Традиционные операции над множествами

Теперь рассмотрим отдельные операции начальной алгебры подробнее, используя конкретный синтаксис, представленный в предыдущем разделе.

Настоящий раздел касается традиционных операций над множествами, а следующий — специальных реляционных операций.

Традиционные операции над множествами — это объединение, пересечение, вычитание и произведение (точнее, расширенное декартово произведение). Давайте сначала рассмотрим объединение.

В математике объединение двух множеств является множеством всех элементов, принадлежащих или обоим, или одному из исходных множеств. Поскольку отношение является, нестрого говоря, множеством кортежей, то, очевидно, можно построить объединение двух отношений; результат будет множеством, содержащим все кортежи, принадлежащие или обоим, или одному из исходных отношений. Например, объединение множества кортежей поставщиков в отношении S и множества кортежей деталей в отношении Р является, несомненно, множеством.

Однако, хотя такой результат и является множеством, он не является отношением; отношения не могут содержать смесь кортежей разных типов, они должны содержать однородные кортежи. И конечно, результат тоже должен быть отношением, поскольку необходимо, чтобы сохранилось свойство замкнутости. Следовательно, объединение в реляционной алгебре не полностью совпадает с математическим объединением, вернее, это особая форма объединения, в которой требуется, чтобы два исходных отношения, нестрого говоря, имели "одну и ту же форму". Это означает, например, что они оба содержат кортежи поставщиков или кортежи деталей, а не смесь обоих видов. Если два отношения имеют "одну и ту же форму", то их можно объединить и результат объединения будет отношением той же формы; иначе говоря, свойство замкнутости будет сохранено.

Более точный термин понятия "одна и та же форма" — совместимо по типу¹. Будем говорить, что два отношения совместимы по типу, если у них идентичные заголовки, а точнее,

1. если каждое из них имеет одно и то же множество имен атрибутов (следовательно, заметьте, они заведомо должны иметь одну и ту же степень);

2. если соответствующие атрибуты (т.е. атрибуты с теми же самыми именами двух отношениях) определены на одном и том же домене.

Операции объединения, пересечения и вычитания требуют от операндов совместимости по типу. Аргументы, аналогичные приведенным выше для объединения, применимы для также для пересечения и вычитания. (операция декартова произведения, напротив, такого требования к операндам не выдвигает, хотя и имеет собственные требования, как вы скоро убедитесь.) Если необходимо выполнить операцию объединения, пересечения или вычитания двух отношений, которые почти совместимы по типу, за исключением некоторых различий в именах атрибутов, можно использовать оператор RENAME (обсуждаемый выше в этой главе), чтобы сделать эти отношения полностью совместимыми по типу, прежде чем выполнить необходимую операцию.

Теперь можно приступить к определениям традиционных операций над множествами, точнее, к тем их разновидностям, которые поддерживаются в реляционной алгебре.

Объединение

Объединением двух совместимых по типу отношений А и B (A union B) называется отношение с тем же заголовком, как и в отношениях А и В, и с телом, состоящим из множества всех кортежей t, принадлежащих А или В или обоим отношениям.

Пример. Пусть отношения А или В будут такими, как показано на рис. 6.3 (отношение А представляет поставщиков из Лондона, а отношение В – поставщиков, которые, например, поставляют деталь Р1). Тогда выражение A union B (см. рис. 6. 3,а) представляет поставщиков, которые или размещаются в Лондоне, или поставляют деталь Р1 (либо и то и другое). Обратите внимание, что результат имеет три кортежа, а не четыре – повторяющиеся кортежи удаляются по определению

A

B

S#

SNAME

STATUS

CITY

S#

SNAME

STATUS

CITY

S1 S4

Smith Clark

20 20

London London

S1 S2

Smith Jones

20 10

London Paris

a) Объединение

S#

SNAME

STATUS

CITY

(A UNION B)

S1 S4 S2

Smith Clark Jones

20 20 10

London London Paris

б) Пересечение (A INSERT B )

S#

SNAME

STATUS

CITY

S1

Smith

20

London

в)

Вычитание (A MINUS B)

г)

Вычитание (В MINUS А)

S#

SNAME

STATUS

CITY

S#

SNAME

STATUS

CITY

S4

Clark

20

London

S2

Jones

10

Paris

Рис. 6.3. Примеры операций объединения, пересечения и вычитания.

Замечание. Вопрос удаления дубликатов не возникает в других традиционных операциях над множествами (пересечение, вычитание и произведение). Фактически существует еще только одна операция (помимо объединения), где этот вопрос возникает, - проекция.

Пересечение

Пересечением двух совместимых по типу отношений А и В (A INTERSECT B) называется отношение с тем же заголовком , как и в отношениях А и В, и с телом, состоящим из множества всех кортежей t, принадлежащих одновременно обоим отношениям А и В.

Пример. Пусть снова отношения А и В будут такими, как показано на рис. 6. 3. Тогда выражение (A INTERSECT B) (см. рис. 6.3,б) представляет поставщиков, которые размещаются в Лондоне и поставляют деталь Р1.

Вычитание

Вычитанием двух совместимых по типу отношений А и В (А minus В) называется от­ношение с тем же заголовком, как и в отношениях А и В, и с телом, состоящим из множества всех кортежей t, принадлежащих отношению А и не принадлежащих от­ношению В.

Пример. Пусть снова отношения А и В будут такими, как показано на рис. 6.3. То­гда выражение А minus В (см. рис. 6.3,в) представляет поставщиков, которые разме­щаются в Лондоне и не поставляют деталь Р1, а в minus а (см. рис. 6.3,г) представляет поставщиков, которые поставляют деталь Р1 и не размещаются в Лондоне. Заметьте, что вычитание учитывает порядок следования точно так же, как и в обычной арифме­тике (например, "5-2" и "2-5" — это не одно и то же).

Произведение

В математике декартово произведение (или для краткости произведение) двух мно­жеств является множеством всех таких упорядоченных пар элементов, что первый элемент в каждой паре берется из первого множества, а второй элемент в каждой па­ре берется из второго множества. Следовательно, декартово произведение двух от­ношений должно быть множеством упорядоченных пар кортежей. Но опять-таки не­обходимо сохранить свойство замкнутости; иначе говоря, результат должен содер­жать кортежи, а не упорядоченные пары кортежей. Поэтому версия декартова произведения в реляционной алгебре представляет собой расширенную форму опера­ции, в которой каждая упорядоченная пара кортежей заменяется одним кортежем, образованным из двух сцепленных кортежей этой пары. "Сцепление" здесь означает объединение (в смысле теории множеств, а не реляционной алгебры); т.е. кортежи

{ <А1:а1>, <А2:а2>, ..., <Аm:am> }

и

{ <В1:b1>, <В2:Ь2>, ..., <Вn:Ьn> }

(имена атрибутов показаны для определенности) сцепляются в один кортеж

{ <A1 :al>, <A2:a2>, ..., <Am:am>, <В1:b1>, <В2:Ь2>,..., <Вn:Ьn> }

Другая проблема, возникающая в связи с декартовым произведением, заклю­чается в том, что результирующее отношение должно иметь правильно сформи­рованный заголовок. Очевидно, что заголовок в своей основе представляет про­сто сцепление двух заголовков исходных отношений. Следовательно, если эти два заголовка имеют какие-то общие имена атрибутов, возникает проблема. Если допустить такую операцию, то результирующий заголовок будет иметь два оди­наковых атрибута, а значит, будет "неверно сформированным". Поэтому, если нужно построить декартово произведение двух отношений, которые имеют какие-то общие имена атрибутов, необходимо прежде для переименования соот­ветствующих атрибутов применить оператор rename.

Итак, декартово произведение двух отношений А и В ( A times в), где А и В не имеют общих имен атрибутов, определяется как отношение с заголовком, ко­торый представляет собой сцепление двух заголовков исходных отношений А и В, и телом, состоящим из множества всех кортежей t, таких, что t представляет собой сцепление кортежа а, принадлежащего отношению А, и кортежа b, принадлежащего отношению В. Обратите внимание, что кардинальное число результата равняется произведению кардинальных чисел исходных отношений А и В, а сте­пень равняется сумме их степеней.

Пример. Пусть отношения А и В будут такими, как показано на рис. 6.4 (отношение А представляет, например, номера всех текущих поставщиков, а отноше­ние В — номера всех текущих деталей). Тогда a times в— это все текущие пары по­ставщик-деталь и деталь-поставщик.

Прежде чем завершить обсуждение этой операции, необходимо указать, что на практике явное использование операции декартова произведения требуется только для чересчур сложных запросов (см. упражнения и ответы на них в конце главы). Другими словами, для реального запроса относительно редко требуется (хотя нельзя сказать что вовсе не требуется) использование операции декартова произведения. Эта операция включена в реляционную алгебру главным образом по концептуальным соображениям. В частности, как отмечается ниже в этой главе, декартово произведение требуется как промежуточный шаг при определении операции θ-соединения (а операция θ-соединения используется довольно часто).

S #

P#

..

..

..

..

..

..

..

..

S1 S1 S1 S1 S1 S1

P1 P2 P3 P4 P5 P6

S2 S2 S2 S2 S2 S2

P1 P2 P3 P4 P5 P6

S3 S3 S3 S3 S3 S3

P1 P2 P3 P4 P5 P6

S4 S4 S4 S4 S4 S4

P1 P2 P3 P4 P5 P6

S5 S5 S5 S5 S5 S5

P1 P2 P3 P4 P5 P6

..

..

..

..

..

..

..

..

A

S#

B

P#

S1 S2 S3 S4 S5

P1 P2 P3 P4 P5 P6

Декартово произведение (A TIMES B)

S#

P#

...

…

…

…

…

…

…

…

S1 S1 S1 S1 S1 S1

P1 P2 P3 P4 P5 P6

S2 S2 S2 S2 S2 S2

P1 P2 P3 P4 P5 P6

S3 S3 S3 S3 S3 S3

P1 P2 P3 P4 P5 P6

S4 S4 S4 S4 S4 S4

P1 P2 P3 P4 P5 P6

S5 S5 S5 S5 S5 S5

P1 P2 P3 P4 P5 P6

…

…

…

…

…

…

…

…

Рис. 6. 4. Пример операции декартова произведения

Отметим, что операция декартова произведения не очень важна на практике, потому что после ее выполнения в результате нет никакой дополнительной информации по сравнению с исходной. В случае, показанном в примере на рис. 6.4, результат не говорит нам ничего нового – он просто подтверждает, что существуют номера поставщиков и номера деталей.

Несколько синтаксических упрощений

Легко проверить, что операция объединения ассоциативна, т. е. если А, В, С – произвольные выражения (дающие совместимые по типу отношения), то выражения

(A UNION B) UNION C

и

A UNION ( B UNION C)

эквивалентны. Следовательно для удобства можно разрешить запись последовательных операторов объединения без использования круглых скобок; таким образом, предыдущее выражение можно однозначно упростить:

A UNION B UNION C

Аналогичные замечания можно сделать и для операций пересечения и декартова произведения (но не вычитания). Заметим еще, что операции объединения, пересечения и декартова произведения (но не вычитания) еще и коммутативны, т. е. выражения

A UNION B

и

В UNION А

эквивалентны; точно также и для операций пересечения и произведения.

Замечание. К вопросу ассоциативности и коммутативности мы вернемся далее в этой книге. А относительно операции декартова произведения мимоходом заметим, что эта операция в теории множеств не является ни ассоциативной, ни коммутатив­ной, но ее расширенная версия, как мы определили, и ассоциативна и коммутативна.