12. Уравнение Шредингера
В развитие идеи де-Бройля о волновых свойствах вещества австрийский физик Э. Шредингер получил в 1926 г. уравнение, названное впоследствии его именем. В квантовой механике уравнение Шредингера играет такую же фундаментальную роль, как законы Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла в классической теории электромагнетизма. Оно позволяет найти вид волновой функции частиц, движущихся в различных силовых полях. Вид волновой функции или -функции получается из решения уравнения, которое выглядит следующим образом
.
(12.1)
Здесь m – масса частицы; i – мнимая единица; – оператор Лапласа, результат действия которого на некоторую функцию представляет собой сумму вторых производных по координатам
.
Буквой U в уравнении (12.1) обозначена функция координат и времени, градиент которой, взятый с обратным знаком, определяет силу, действующую на частицу.
Уравнение Шредингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Оно не может быть выведено из других уравнений. Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (т.е. постоянно во времени), то функция U не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шредингера состоит из двух множителей, один из которых зависит только от координат, другой – только от времени
. (12.2)
Здесь Е –
полная энергия частицы, которая в случае
стационарного поля остается постоянной;
– координатная часть волновой функции.
Чтобы убедиться в справедливости (12.2),
подставим его в (12.1):
.
В результате получим
. (12.3)
Уравнение (12.3) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В дальнейшем мы будем иметь дело только с этим уравнением и для краткости будем называть его просто уравнением Шредингера. Уравнение (12.3) часто записывают в виде
.
В квантовой механике
большую роль играет понятие оператора.
Под оператором подразумевается правило,
посредством которого одной функции,
обозначим ее
сопоставляется другая функция, обозначим
ее f. Символически это записывается
следующим образом
,
здесь
– символическое обозначение оператора
(можно было взять любую другую букву со
«шляпкой» над ней, например
и т. д.). В формуле (12.1) роль
играет , роль
– функция
,
а роль f – правая часть формулы.
Например, символ
означает двукратное дифференцирование
по трем координатам, х, у, z,
с последующим суммированием полученных
выражений. Оператор может, в частности,
представлять собой умножение исходной
функции
на некоторую функцию U. Тогда
,
следовательно,
.
Если рассматривать функцию U в
уравнении (12.3) как оператор, действие
которого на -функцию
сводится к умножению
на U, то уравнение (12.3) можно записать
так:
. (12.4)
В этом уравнении
символом
обозначен оператор, равный сумме
операторов
и U:
.
Оператор
называют гамильтонианом (или оператором
Гамильтона). Гамильтониан является
оператором энергии Е. В квантовой
механике другим физическим величинам
также сопоставляются операторы.
Соответственно, рассматриваются
операторы координат, импульса, момента
импульса и т. д. Для каждой физической
величины
составляется уравнение, аналогичное
(12.4). Оно имеет вид
,
где
– оператор, сопоставляемый g. Так,
например, оператор импульса определяется
соотношениями
;
;
,
или в векторном
виде
,
где – градиент.
В разд. 10 мы уже обсуждали физический смысл -функции: квадрат модуля -функции (волновой функции) определяет вероятность dP того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV:
, (12.5)
Поскольку
квадрат модуля волновой функции равен
произведению волновой функции на
комплексно сопряженную величину
,
то
.
Тогда вероятность обнаружения частицы в объеме V
.
Для одномерного случая
.
Интеграл
от выражения (12.5), взятый по всему
пространству от
до
,
равняется единице:
Действительно, этот интеграл дает вероятность того, что частица находится в одной из точек пространства, т. е. вероятность достоверного события, которая равна 1.
В квантовой механике принимается, что волновая функция допускает умножение на отличное от нуля произвольное комплексное число С, причем и С описывают одно и то же состояние частицы. Это позволяет выбрать волновую функцию так, чтобы она удовлетворяла условию
(12.6)
Условие (12.6) называется условием нормировки. Функции, удовлетворяющие этому условию, называются нормированными. В дальнейшем мы всегда будем полагать, что рассматриваемые нами -функции являются нормированными. В случае стационарного силового поля справедливо соотношение
,
т. е. плотность вероятности волновой функции равна плотности вероятности координатной части волновой функции и от времени не зависит.
Свойства -функции: она должна быть однозначной, непрерывной и конечной (за исключением, быть может, особых точек) и иметь непрерывную и конечную производную. Совокупность перечисленных требований носит название стандартных условий.
В уравнение Шредингера в качестве параметра входит полная энергия частицы Е. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям, не при любых, а лишь при некоторых определенных значениях параметра (т. е. энергии Е). Эти значения называются собственными значениями. Решения, соответствующие собственным значениям, называются собственными функциями. Нахождение собственных значений и собственных функций, как правило, представляет собой весьма трудную математическую задачу. Рассмотрим некоторые наиболее простые частные случаи.