17. Движение свободной частицы

Рассмотрим движение свободной частицы. Полная энергия Е движущейся частицы равна кинетической энергии (потенциальная энергия U = 0). Уравнение Шредингера для стационарного состояния (12.3) имеет в этом случае решение

.

Полные (зависящие от времени) волновые функции таких стационарных состояний имеют вид . Следовательно,

.

Это уравнение представляет собой суперпозицию двух плоских монохроматических волн равной частоты , распространяющихся одна в положительном направлении оси х с амплитудой А, а другая в противоположном, с амплитудой В. Но в неограниченном пространстве отраженной волны быть не должно, поэтому можно принять В = 0, и тогда

. (17.1)

Каждая такая функция – плоская волна описывает состояние, в котором частица обладает определенными значениями энергии Е и импульса р =  k. Реальная часть (17.1)

задает поведение свободной частицы. Таким образом, свободная частица в квантовой механике описывается плоской монохроматической волной де‑Бройля с волновым числом

.

Вероятность обнаружить частицу в любой точке пространства найдем как

,

т. е. вероятность обнаружить частицу вдоль оси х везде постоянна.

Таким образом, если импульс частицы имеет определенное значение, то она, в соответствии с принципом неопределенности, с равной вероятностью может находиться в любой точке пространства. Иначе говоря, если импульс частицы точно известен, мы ничего не знаем о ее местонахождении.

В процессе измерения координаты частица локализуется измерительным прибором, поэтому область определения волновой функции (17.1) для свободной частицы ограничивается отрезком х. Плоскую волну уже нельзя считать монохроматической, имеющей одно определенное значение длины волны (импульса).

18. Гармонический осциллятор

В заключение рассмотрим задачу о колебаниях квантового гармонического осциллятора. Таким осциллятором являются частицы, совершающие малые колебания около положения равновесия.

На рис. 18.1, а изображен классический гармонический осциллятор в виде шарика массой m, подвешенного на пружине с коэффициентом жесткости k. Сила, действующая на шарик и ответственная за его колебания, связана с координатой х формулой . Потенциальная энергия шарика есть

Рис. 18.1

.

Е сли шарик вывести из положения равновесия, то он совершает колеба­ния с частотой . Зависимость потенциальной энергии от координа­ты х показана на рис. 18.1, б.

Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора имеет вид

Решение этого уравнения приводит к квантованию энергии осциллятора. Собственные значения энергии осциллятора определяются выражением

Как и в случае потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками, минимальная энергия осциллятора отлична от нуля. Наименьшее возможное значение энергии при n = 0 называют энергией нулевых колебаний. Для классического гармонического осциллятора в точке с координатой x = 0 энергия равна нулю. Существование энергии нулевых колебаний подтверждается экспериментами по изучению рассеяния света кристаллами при низких температурах. Спектр энергий частицы оказывается эквидистантным, т. е. расстояние между уровнями энергии равно энергии колебаний классического осциллятора

.

При передаче энергии через фотон его частота оказывается равной .

Приведем (без вывода) выражения для нескольких первых собственных функций гармонического осциллятора:

Графики для соответствующих плотностей вероятности изображены на рис. 18.2. Границы «классической» траектории осциллятора помечены как и .

Рис. 18.2

Проведем сравнение с классическим случаем. Очевидно, что в этом случае вероятность нахождения частицы в интервале обратно пропорциональна скорости частицы , где есть точка поворота частицы при колебаниях, т. е. .

График «классической» плотности вероятности изображен на рис. 18.3 пунктирной кривой. Видно, что, как и в случае потенциальной ямы, поведение квантового осциллятора существенным образом отличается от поведения классического.

В

Рис. 18.3

ероятность для классического осциллятора всегда максимальна вблизи точек поворота, а для квантового осциллятора вероятность максимальна в пучностях собственных -функций. К тому же квантовая вероятность оказывается отличной от нуля и за точками поворота, ограничивающими движение классического осциллятора.

На примере квантового осциллятора опять прослеживается упоминавшийся ранее принцип соответствия. На рис. 18.3 изображены графики для классической и квантовой плотностей вероятности при большом квантовом числе n. Хорошо видно, что усреднение квантовой кривой приводит к классическому результату.