- •Тепловое излучение. Квантовая оптика
- •1. Тепловое излучение
- •2. Закон Кирхгофа. Абсолютно черное тело
- •3. Закон Стефана – Больцмана и закон Вина. Формула Рэлея – Джинса
- •4. Формула Планка
- •5. Явление внешнего фотоэффекта
- •6. Опыт Боте. Фотоны
- •7. Излучение Вавилова – Черенкова
- •8. Эффект Комптона
- •Основные положения квантовой механики
- •9. Гипотеза де-Бройля. Опыт Дэвиссона и Джермера
- •10. Вероятностный характер волн де-Бройля. Волновая функция
- •11. Принцип неопределенности
- •12. Уравнение Шредингера
- •13. Частица в потенциальной яме
- •14. Потенциальная яма конечной глубины
- •15. Принцип соответствия в квантовой механике
- •16. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект
- •17. Движение свободной частицы
- •18. Гармонический осциллятор
- •Содержание
- •Тираж 200 экз. Заказ
- •1 97376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5
15. Принцип соответствия в квантовой механике
Критерий, при выполнении которого классическая физика дает достаточную точность и необязательно применять формулы квантовой механики, может быть записан в виде
,
где L – размеры системы, в которой движется частица; – длина волны де‑Бройля.
Смысл его заключается в том, что при длинах волн, много меньших размеров системы, квантово-механические особенности в поведении частиц оказываются несущественными.
Продемонстрируем это утверждение на примере частицы в потенциальной яме (см. разд. 13). -функцию частицы (13.5), учитывая, что , можно записать в виде
. (15.1)
Такое представление позволяет говорить о двух движущихся навстречу друг другу волнах де-Бройля. Сравнивая (15.1) с выражением для одномерной волны де-Бройля (9.2), получим выражение для импульса частицы для каждой из этих волн
и для длины волны де-Бройля:
.
Очевидно, что при n , 0 и поведение частицы должно быть близким к классическому.
Проследим, как это отразится на спектре энергии частицы и ее волновых функциях. Оценим расстояния между соседними уровнями энергии частицы:
.
Относительное расстояние между уровнями
.
При n спектр энергии частицы получается почти непрерывным.
Посмотрим теперь, как ведет себя плотность вероятности для частицы при больших n. Для классической частицы плотность вероятности постоянна и равна
(15.2)
П
Рис. 15.1
.
Поведение плотности вероятности при больших n показано на рис. 15.1 (n = 10). Видно, что значение колеблется около среднего значения 1/l. Физический смысл в этом случае имеет лишь среднее значение плотности вероятности. Поэтому при n 1 , т. е. квантовая вероятность переходит в классическую.
Таким образом, по мере возрастания n частица все более утрачивает квантовые свойства, и при больших значениях n квантовая физика переходит в классическую.
Полученный результат является частным случаем общего физического принципа – принципа соответствия: любая новая теория, претендующая на большую общность, чем классическая теория, обязательно должна переходить в старую, классическую теорию в тех случаях, в которых последняя была построена и многократно проверена экспериментально.
16. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект
Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высотой и шириной l (рис. 16.1).
П
Рис.
16.1
Совершенно иначе выглядит поведение частицы согласно квантово-механическому описанию. Даже при имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет «сквозь» барьер и окажется в области х l. Такое, совершенно невозможное с классической точки зрения, поведение микрочастицы вытекает непосредственно из уравнения Шредингера.
Рассмотрим случай 1. Для областей I и III (U = 0) уравнение Шредингера имеет вид
. (16.1)
Для области II ( и ) уравнение имеет вид
. (16.2)
Положим, что решение уравнения (16.1) имеет следующий вид:
.
Тогда подстановка этой функции в уравнение (16.1) приводит к характеристическому уравнению
,
где и .
Общее решение уравнения (16.1) имеет следующий вид:
● для области I:
;
● для области III:
.
Решив подстановкой уравнение (16.2), получим общее решение этого уравнения для области II в виде , где .
Заметим, что решение вида соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси х, а решение вида волне, распространяющейся в противоположном направлении.
В области III имеется только волна, прошедшая через барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент в выражении для следует принять равным нулю. Для нахождения остальных коэффициентов воспользуемся стандартными условиями, которым должна удовлетворять ‑функция,
и ; и .
Из этих условий вытекают соотношения
; (16.3)
Разделим все уравнения (17.3) на и введем обозначения , , , и . Тогда уравнения (16.3) примут вид
; (16.4)
Количественно эффект туннелирования можно оценить, вычислив плотность вероятности обнаружения частицы в каждой из областей пространства. Оценим степень прозрачности потенциального барьера.
В случае пренебрежения отраженными волнами на границах I – II и II – III, отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волн определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера и может быть названо коэффициентом отражения:
.
Отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волн определяет вероятность прохождения частицы через барьер и может быть названо коэффициентом прохождения (или коэффициентом прозрачности):
.
Коэффициенты отражения и прозрачности связаны соотношением
.
В результате решения системы уравнений (16.4), получается
.
Значение обычно бывает больше единицы, поэтому, учитывая, что , получим
.
Отношение имеет значение порядка единицы. Поэтому окончательно можно считать, что
.
Из полученного выражения следует, что вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер зависит от ширины барьера l и от разности энергий ( ).
Если при какой-либо ширине барьера коэффициент прохождения D равен 0,01, то при увеличении ширины в два раза D станет равным 0,012 = 0,0001, т. е. уменьшится в 100 раз. Тот же эффект вызвало бы возрастание в четыре раза значения ( ). Коэффициент прохождения резко уменьшается при увеличении массы частицы m.
Рис. 16.2
На рис. 16.2 изображены: в области I – действительная часть падающей волны ( ); в области II – экспоненциально убывающая ‑функция ( ) и в области III – действительная часть прошедшей волны ( ). Построение выполнено при условии пренебрежения отраженными волнами на границах I – II и II – III, при этом и .
В случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 16.3) коэффициент прозрачности определяется более общей формулой
).
П
Рассмотрим случай, когда (рис. 16.4). Для области I уравнение Шредингера имеет вид
, (16.5)
для области II
. (16.6)
Общие решения уравнений (16.5) и (16.6) имеют следующий вид:
● для области I
;
● для области II
,
где и .
Заметим, что, как и в случае высокого потенциального барьера, решение вида соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси х, а решение вида – волне, распространяющейся в противоположном направлении.
В области II имеется только волна, прошедшая над барьером и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент в выражении для следует принять равным нулю. Для нахождения остальных коэффициентов можно воспользоваться стандартными условиями, которым должна удовлетворять функция :
; . (16.7)
В области II , следовательно, действительная часть волновой функции ( ) представляет собой косинусоиду с волновым числом
.
При длина волны (волновое число ) действительной части ‑функции в области II совпадает с длиной волны действительной части волновой функции в области I. С ростом значение волнового числа уменьшается (длина волны увеличивается), и в пределе при действительная часть волновой функции в области II перестает быть гармонической. На рис. 16.5 изображены действительная часть падающей волны ( ) и действительная часть прошедшей волны ( ).
Рис. 16.5
Используя стандартные условия (16.7), можно показать, что коэффициент отражения и коэффициент прохождения для низкого ( ) потенциального барьера бесконечной ширины имеют вид
; .