3. Закон Стефана – Больцмана и закон Вина. Формула Рэлея – Джинса

Теоретическое объяснение законов излучения абсолютно черного тела имело огромное значение в истории физики – оно привело к появлению квантовой теории. Долгое время попытки получить теоретический вид функции не давали общего решения задачи. Английский ученый Стефан в 1879 г., анализируя экспериментальные данные для различных тел, пришел к выводу, что энергетическая светимость любого тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры. Однако последующие более точные измерения показали ошибочность его выводов. Так, Больцман в 1884 г., исходя из термодинамических соображений, получил теоретическое выражение для энергетической светимости абсолютно черного тела

, (3.1)

где  = 5,7  10^ Вт  (м²К⁴) есть постоянная Стефана – Больцмана; Т – абсолютная температура. Формула (3.1) является математической формулировкой закона Стефана – Больцмана. Таким образом, вывод, к которому пришел Стефан для серых тел, оказался справедливым только для абсолютно черных тел.

Воспользовавшись, кроме термодинамики, электромагнитной теорией, в 1893 г. В. Вин показал, что функция спектрального распределения энергии излучения должна иметь вид

,

где F – некоторая функция отношения частоты к температуре. Для функции с учетом (2.5) получается выражение

, (3.2)

где – некоторая функция произведения . Соотношение (3.2) позволяет установить зависимость между длиной волны , на которую приходится максимум функции , и температурой. Продифференцировав соотношение (3.2) по  и приравняв первую производную к нулю, получим

, (3.3)

г

Рис. 3.1

де b = 2.9  10^3 м  К – универсальная постоянная. Формула (3.3) получила название закона Вина, или закона смещения Вина. Экспериментальные зависимости испускательной способности абсолютно черного тела от длины вол­ны показаны на рис. 3.1. Разные кривые соответствуют различным значениям температуры АЧТ. Площадь под каждой кривой численно равна энергетиче­ской светимости АЧТ при соответствующей температуре. Из анализа представленных на рис. 3.1 результатов следует, что энергетическая светимость АЧТ возрастает с увеличением температуры. Максимум испускательной способности, а следовательно, и с увеличением температуры сдвигается в сторону более коротких волн.

Попытка объяснить вид кривых теплового излучения (рис. 3.1), исходя из законов классической физики, была сделана Рэлеем и Джинсом. Из уравнений Максвелла для электромагнитного поля следует, что, с энергетической точки зрения, «черное» излучение в полости эквивалентно излучению системы из бесконечно большого числа не взаимодействующих друг с другом гармонических излучателей (радиационных осцилляторов), собственные частоты которых равны частотам соответствующих компонентов «черного» излучения. Методами статистической физики Рэлей и Джинс получили следующее выражение

, (3.4)

г

Рис. 3.2

де – величина, пропорциональная плотности радиаци­он­ных осцилляторов;  – средняя энер­гия осциллятора. По классиче­ско­му закону о равномерном распре­деле­нии энергии по степеням свободы сис­темы, находящейся в термодина­ми­че­с­ком равновесии  = kT, фор­мула Рэ­лея – Джинса принимает вид

. (3.5)

Отметим особенность формулы Рэлея – Джинса: заряд осциллятора, масса осциллятора, все частные свойства осциллятора не входят в полученное выражение. На рис. 3.2 показана зависимость испускательной способности f() АЧТ от частоты. Кривая с максимумом – это экспериментальная зависимость (подобная кривым на рис. 3.1); другая кривая построена по формуле Рэлея – Джинса (3.5). В области малых частот (больших длин волн) значения функции (3.5) довольно хорошо согласуются с экспериментом. Представленные на рис. 3.2 зависимости расходятся в области высоких частот (коротких длин волн). Такое расхождение расчетных и экспериментальных данных получило название «ультрафиолетовая катастрофа». И только отказ от некоторых представлений классической физики позволил дать объяснение свойствам излучения черного тела.