13. Частица в потенциальной яме
Найдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные волновые функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме (рис. 13.1, а). Предположим, что частица
Рис. 13.1
может двигаться только вдоль оси х.
Пусть движение ограничено непроницаемыми
для частицы стенками: х = 0 и х =
l. Потенциальная
энергия U = 0 внутри ямы (при 0
х l)
и
вне ямы (при х
0 и х l).
Рассмотрим стационарное уравнение Шредингера. Поскольку -функция зависит только от координаты х, то уравнение имеет вид
. (13.1)
За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы равна нулю. Следовательно, и функция за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что должна быть равна нулю и на границах ямы, т. е.
. (13.2)
Этому условию должны удовлетворять решения уравнения (13.1).
В области II (0 х l), где U = 0 уравнение (13.1) имеет вид
.
Используя
обозначение
,
придем к известному из теории колебаний
волновому уравнению
.
Решение такого уравнения имеет вид
. (13.3)
Условию (14.2) можно
удовлетворить соответствующим выбором
постоянных k и .
Из равенства
получаем
= 0.
Далее из равенства
получаем
.
Это условие выполняется при
(n = 1, 2, 3, ...), (13.4)
n = 0 исключено, поскольку при этом 0, т. е. вероятность обнаружения частицы в яме равна нулю.
Из (13.4) получаем
(n = 1, 2, 3, ...), следовательно,
(n
= 1, 2, 3, ...).
Таким образом получаем, что энергия частицы в потенциальной яме может принимать только дискретные значения. На рис.13.1, б изображена схема энергетических уровней частицы в потенциальной яме. На этом примере реализуется общее правило квантовой механики: если частица локализована в ограниченной области пространства, то спектр значений энергии частицы дискретен, при отсутствии локализации спектр энергии непрерывен.
Подставим значения k из условия (13.4) в (13.3) и получим
.
Для нахождения константы а воспользуемся условием нормировки, которое в данном случае имеет вид
.
На концах промежутка
интегрирования подынтегральная функция
обращается в нуль. Поэтому значение
интеграла можно получить, умножив
среднее значение
(равное, как известно, 12)
на длину промежутка. Таким образом,
получаем
.
Окончательно собственные волновые
функции имеют вид
(n = 1, 2, 3, ...).
Графики собственных значений функций при различных n изображены на рис. 13.2. На этом же рисунке показана плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы.
Рис. 13.2
Графики показывают, что в состоянии с n = 2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Такое поведение частицы, несовместимо с представлением о траектории. Отметим, что, согласно классическим представлениям, все положения частицы в яме равновероятны.
14. Потенциальная яма конечной глубины
Рассмотрим задачу о
движении частицы в потенциальной яме
со стенками конечной высоты
(рис. 14.1).
Н
Рис. 14.1
и собственные значения энергии
,
которые удовлетворяли бы граничному
условию: при больших значениях
функция (х)
стремится к нулю. Рассмотрим только
правую половину ямы (
).
В области II уравнение Шредингера записывается в виде
.
Решение этого уравнения имеет вид
,
где
.
При этом в области II
0. Граничному
условию для области II удовлетворяет
решение
. (14.1)
В области I уравнение Шредингера записывается в виде
,
а решения этого уравнения имеют вид (см. разд. 13):
● при нечетных значениях n
; (14.2)
● при четных значениях n
, (14.3)
где
2.
При
-функция должна
удовлетворять стандартным условиям
;
. (14.4)
Для нечетных энергетических уровней, подставляя (14.1) и (14.2) в (14.4), получаем соотношения
;
.
Разделив эти соотношения, получим
.
Учитывая, что
и
,
запишем
;
.
. (14.5)
Уравнение (14.5) является
трансцендентным и может быть решено
либо графически, либо методом итераций,
либо методом «проб и ошибок». По найденному
любым из этих способов собственному
значению энергии
(значения положительных корней этого
уравнения) можно определить собственные
значения -функции,
и соответственно,
;
.
Для четных значений n (14.3) запишем граничные условия (14.4) при :
;
.
Разделив эти соотношения, получим трансцендентное уравнение, которое позволит определить собственные значения энергии и -функции на четных энергетических уровнях:
.
Поскольку тангенс и котангенс периодические функции, частица в потенциальной яме может иметь лишь дискретные уровни энергии. Чем глубже яма, тем больше уровней энергии разрешены для частицы, причем уровни, которым отвечают четные и нечетные волновые функции, чередуются.
На рис. 14.2 показаны уровни энергии, а на рис. 14.3 – волновые функции, соответствующие первым трем энергетическим уровням для ямы конечной глубины (сплошные линии) и в бесконечно глубокой потенциальной яме (штриховые линии).
Рис. 14.2
Рис. 14.3
В заключение заметим, что общее решение задачи о частице, находящейся в прямоугольной яме конечной глубины, встречается при рассмотрении многих задач атомной физики, например, эмиссии электронов из металлов, радиоактивного распада и т. д.