15. Принцип соответствия в квантовой механике

Критерий, при выполнении которого классическая физика дает достаточную точность и необязательно применять формулы квантовой механики, может быть записан в виде

,

где L – размеры системы, в которой движется частица;  – длина волны де‑Бройля.

Смысл его заключается в том, что при длинах волн, много меньших размеров системы, квантово-механические особенности в поведении частиц оказываются несущественными.

Продемонстрируем это утверждение на примере частицы в потенциальной яме (см. разд. 13). -функцию частицы (13.5), учитывая, что , можно записать в виде

. (15.1)

Такое представление позволяет говорить о двух движущихся навстречу друг другу волнах де-Бройля. Сравнивая (15.1) с выражением для одномерной волны де-Бройля (9.2), получим выражение для импульса частицы для каждой из этих волн

и для длины волны де-Бройля:

.

Очевидно, что при n  ,   0 и поведение частицы должно быть близким к классическому.

Проследим, как это отразится на спектре энергии частицы и ее волновых функциях. Оценим расстояния между соседними уровнями энергии частицы:

.

Относительное расстояние между уровнями

.

При n   спектр энергии частицы получается почти непрерывным.

Посмотрим теперь, как ведет себя плотность вероятности для частицы при больших n. Для классической частицы плотность вероятности постоянна и равна

(15.2)

П

Рис. 15.1

лотность вероятности (15.2) постоянна и удовлетворяет условию нормировки

.

Поведение плотности вероятности при больших n показано на рис. 15.1 (n = 10). Видно, что значение колеблется около среднего значения 1/l. Физический смысл в этом случае имеет лишь среднее значение плотности вероятности. Поэтому при n  1 , т. е. квантовая вероятность переходит в классическую.

Таким образом, по мере возрастания n частица все более утрачивает квантовые свойства, и при больших значениях n квантовая физика переходит в классическую.

Полученный результат является частным случаем общего физического принципа – принципа соответствия: любая новая теория, претендующая на большую общность, чем классическая теория, обязательно должна переходить в старую, классическую теорию в тех случаях, в которых последняя была построена и многократно проверена экспериментально.

16. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект

Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высотой и шириной l (рис. 16.1).

П

Рис. 16.1

о классическим представлениям, поведение частицы имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера ( ), то частица беспрепятственно проходит над барьером и на участке 0  х  l лишь уменьшается скорость частицы. Затем при х  l скорость принимает первоначальное значение. Если же , то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону; сквозь барьер частица проникнуть не может.

Совершенно иначе выглядит поведение частицы согласно квантово-механическому описанию. Даже при имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет «сквозь» барьер и окажется в области х  l. Такое, совершенно невозможное с классической точки зрения, поведение микрочастицы вытекает непосредственно из уравнения Шредингера.

Рассмотрим случай ¹. Для областей I и III (U = 0) уравнение Шредингера имеет вид

. (16.1)

Для области II ( и ) уравнение имеет вид

. (16.2)

Положим, что решение уравнения (16.1) имеет следующий вид:

.

Тогда подстановка этой функции в уравнение (16.1) приводит к характеристическому уравнению

,

где и .

Общее решение уравнения (16.1) имеет следующий вид:

● для области I:

;

● для области III:

.

Решив подстановкой уравнение (16.2), получим общее решение этого уравнения для области II в виде , где .

Заметим, что решение вида соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси х, а решение вида волне, распространяющейся в противоположном направлении.

В области III имеется только волна, прошедшая через барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент в выражении для следует принять равным нулю. Для нахождения остальных коэффициентов воспользуемся стандартными условиями, которым должна удовлетворять ‑функция,

и ; и .

Из этих условий вытекают соотношения

; (16.3)

Разделим все уравнения (17.3) на и введем обозначения , , , и . Тогда уравнения (16.3) примут вид

; (16.4)

Количественно эффект туннелирования можно оценить, вычислив плотность вероятности обнаружения частицы в каждой из областей пространства. Оценим степень прозрачности потенциального барьера.

В случае пренебрежения отраженными волнами на границах I – II и II – III, отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волн определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера и может быть названо коэффициентом отражения:

.

Отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волн определяет вероятность прохождения частицы через барьер и может быть названо коэффициентом прохождения (или коэффициентом прозрачности):

.

Коэффициенты отражения и прозрачности связаны соотношением

.

В результате решения системы уравнений (16.4), получается

.

Значение обычно бывает больше единицы, поэтому, учитывая, что , получим

.

Отношение имеет значение порядка единицы. Поэтому окончательно можно считать, что

.

Из полученного выражения следует, что вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер зависит от ширины барьера l и от разности энергий ( ).

Если при какой-либо ширине барьера коэффициент прохождения D равен 0,01, то при увеличении ширины в два раза D станет равным 0,01² = 0,0001, т. е. уменьшится в 100 раз. Тот же эффект вызвало бы возрастание в четыре раза значения ( ). Коэффициент прохождения резко уменьшается при увеличении массы частицы m.

Рис. 16.2

На рис. 16.2 изображены: в области I – действительная часть падающей волны ( ); в области II – экспоненциально убывающая ‑функция ( ) и в области III – действительная часть прошедшей волны ( ). Построение выполнено при условии пренебрежения отраженными волнами на границах I – II и II – III, при этом и .

В случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 16.3) коэффициент прозрачности определяется более общей формулой

).

П

ри преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере, в связи с чем рассмотренное нами явление называют туннельным эффектом. На основе этого эффекта построены многие современные приборы, например туннельные диоды и транзисторы.

Рассмотрим случай, когда (рис. 16.4). Для области I уравнение Шредингера имеет вид

, (16.5)

для области II

. (16.6)

Общие решения уравнений (16.5) и (16.6) имеют следующий вид:

● для области I

;

● для области II

,

где и .

Заметим, что, как и в случае высокого потенциального барьера, решение вида соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси х, а решение вида – волне, распространяющейся в противоположном направлении.

В области II имеется только волна, прошедшая над барьером и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент в выражении для следует принять равным нулю. Для нахождения остальных коэффициентов можно воспользоваться стандартными условиями, которым должна удовлетворять функция :

; . (16.7)

В области II , следовательно, действительная часть волновой функции ( ) представляет собой косинусоиду с волновым числом

.

При длина волны (волновое число ) действительной части ‑функции в области II совпадает с длиной волны действительной части волновой функции в области I. С ростом значение волнового числа уменьшается (длина волны увеличивается), и в пределе при действительная часть волновой функции в области II перестает быть гармонической. На рис. 16.5 изображены действительная часть падающей волны ( ) и действительная часть прошедшей волны ( ).

Рис. 16.5

Используя стандартные условия (16.7), можно показать, что коэффициент отражения и коэффициент прохождения для низкого ( ) потенциального барьера бесконечной ширины имеют вид

; .