2.6. Минимально- и неминимально-фазовые звенья

Введем вначале понятия нулей и полюсов передаточной функции. Нулями передаточной функции называют корни уравнения, т.е. такие значения р, при которых передаточная функция обращается в нуль, а полюсами - корни уравнения, т.е. такие значения р, при которых передаточная функция обращается в бесконечность.

Звено называется минимально-фазовым, если все нули и полюса его передаточной функции имеют отрицательные или равные нулю вещественные части.

Звено называют неминимально-фазовым, если хотя бы один нуль или полюс его передаточной функции имеет положительную вещественную часть.

Все рассмотренные выше типовые звенья, кроме звена чистого запаздывания, являются минимально-фазовыми.

Возьмем в качестве примера неминимально-фазовое звено с передаточной функцией

Такое звено можно получить, если охватить апериодическое звено с передаточной функцией положительной обратной связью с передаточной функциейЭквивалентная передаточная функция такого соединения будет

где

При параметры k и Т будут отрицательны, но если умножить и числитель, и знаменатель выведенной передаточной функции на минус единицу, то получим записанную выше передаточную функцию неминимально-фазового звена.

Эта передаточная функция имеет положительный полюс

Частотные характеристики такого звена:

Но для обычного апериодического звена имеем:

Разница между ними, как видим, в величине фазы. Амплитудные же характеристики одинаковы. Оказывается, что из всех возможных звеньев с одинаковыми амплитудными характеристиками обычные типовые звенья обладают наименьшими по абсолютному значению фазовыми характеристиками. В этом и состоит смысл введенных терминов.

Важным свойством минимально-фазовых звеньев является однозначное соответствие амплитудной и фазовой частотных характеристик. Другими словами, по заданной амплитудной характеристике можно определить фазовую и наоборот.

2.7. Частотные характеристики разомкнутых систем

Так как полиномы произвольного порядка можно разложить на простые множители, то любую передаточную функцию можно представить в виде произведений простых множителей в числителе и знаменателе или, другими словами, в виде цепочки последовательно соединенных типовых динамических звеньев. Для такой цепочки звеньев (т.е. для разомкнутой однокортнутой системы) передаточная и комплексная частотная функции запишутся в виде:

где и- передаточные и комплексные частотные функ-

ции типовых динамических звеньев.

В этом случае модули и аргументы комплексных функций звеньев и системы связываются следующими соотношениями:

.

Отсюда вытекает правило построения ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой одноконтурной САУ: строят логарифмические характеристики звеньев и затем их графически складывают.

Но для построения асимптотической ЛАЧХ применяют более простой метод, который сформулируем после рассмотрения численного примера.

Пример 2.8.

Построить асимптотическую ЛАЧХ для разомкнутой системы с передаточной функцией

По виду передаточной функции можно заключить, что система состоит из последовательно соединенных n интегрирующих, форсирующего, апериодического и колебательного звеньев.

Рассчитаем сопрягающие частоты (, а в каждом простом множителе в числителе и знаменателе передаточной функции присутствует):

,

где - сопрягающая частота апериодического звена,

- сопрягающая частота форсирующего звена,

- сопрягающая частота колебательного звена.

Примем для определенности n=1. Кроме того, будем считать, что коэффициент передачи интегрирующего звена равен коэффициенту передачи разомкнутой САУ, а коэффициенты передачи всех остальных звеньев равны единице.

Определим величину 20lgk: 20lg30=29.

Характеристики звеньев построены на рис.2.19, где соответственно ломаные линии 1,2,3, 4 являются ЛАЧХ интегрирующего, апериодического, форсирующего и колебательного звеньев. Так как коэффициенты передачи всех звеньев, кроме интегрирующего, приняты единичными, то ЛАЧХ этих звеньев при совпадают с осью частот.

Пример построения асимптотической ЛАЧХ

20дБ/дек

1

40

40 дБ/дек 3

20 20 дБ/дек

0 0 lg

20

2 4

40 5

60 дБ/дек

Рис.2.19

Просуммировав графически ЛАЧХ всех звеньев, получим характеристику 5, являющуюся ЛАЧХ разомкнутой системы.

Из этого примера видно, что суммарную характеристику легко можно построить, не изображая характеристик отдельных звеньев.

Поэтому при построении ЛАЧХ разомкнутых САУ (или цепи последовательно соединенных звеньев) вначале проводят первую асимптоту через точку с координатами с наклоном минус n 20дБ/дек, где n равно разности между числами идеальных интегрирующих и дифференцирующих звеньев. После каждой сопрягающей частоты наклон ЛАЧХ изменяют, причем изменение наклона определяется типом звена, давшим сопрягающую частоту. Причем если у колебательного звена < 0,4, на соответствующей частоте необходимо изобразить “горб” в соответствии с величиной .

Пример 2.9.

По заданной на рис.2.20 асимптотической ЛАЧХ одноконтурной разомкнутой системы требуется восстановить ее передаточную функцию.

60 20 дБ/дек

15 дБ/дек

40 дБ/дек

40

20 20 дБ/дек

0,4 0,6 1,25 2,5

0 1 0 1 2 lg

20 40 дБ/дек

Рис.2.20

Величина наклона первой асимптоты (по мере роста частоты) указывает на присутствие в структуре системы интегрирующего звена.

Для первой асимптоты поэтому справедливо уравнение (см. характеристики интегрирующего звена):

.

Определить параметр k можно, отсчитав с графика координаты любой точки этой асимптоты. Например

После первой по величине сопрягающей частоты наклон ЛАЧХ изменился на плюс 20 дБ/дек. Такой наклон имеет ЛАЧХ форсирующего звена. Следовательно, в структуре системы есть форсирующее звено. Анализируя изменение наклонов асимптот ЛАЧХ можно заключить, что помимо упомянутых типовых звеньев в систему включены колебательное звено, еще одно форсирующее и апериодическое.

В общем виде передаточная функция будет следующей:

По сопрягающим частотам рассчитаем соответствующие постоянные времени:

По всплеску ЛАЧХ на сопрягающей частоте колебательного звена определим коэффициент демпфирования:

Окончательный ответ: