Методическое пособие по ТАУ / 8 / 70-76

77

k₃

3

=10 =4

2 =7 =5

Область

1 устойчивости

1 0

Т₃

1 2

=1 1

=2

Рис.3.9

3.4. Критерий устойчивости Найквиста

Предназначен для анализа устойчивости замкнутых систем.

Для случая, если разомкнутая цепь устойчива, условия устойчивости замкнутой САУ сводится к требованию, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) разомкнутой цепи не охватывала точку (1, j0).

Если АФЧХ разомкнутой цепи проходит через точку (1, j0) , то можно записать

Но это возможно в том случае, если

то есть годограф Михайлова замкнутой САУ проходит через начало координат.

Таким образом, если АФЧХ разомкнутой цепи проходит через точку (1, j0), то замкнутая САУ будет находится на границе устойчивости.

На рис.3.10 приведены две АФЧХ. Кривая 1 соответствует устойчивой САУ, кривая 2 - нахождению САУ на границе устойчивости.

Если, например, уменьшить коэффициент передачи в неустойчивой САУ, то ее АФЧХ будет сжиматься к началу координат, в результате чего система станет, наконец, устойчивой. Аналогично этому происходит и обратное.

Для САУ, имеющих неустойчивую разомкнутую цепь, условия устойчивости рассматривать не будем.

jQ

1

0 Р

1 2

Рис.3.10

В соответствии с критерием Найквиста об устойчивости можно судить не только по АФЧХ, но и совместно по амплитудной и фазовой частотным характеристикам разомкнутой цепи. Обычно при этом пользуются логарифмическими характеристиками, что представляет большое удобство в силу простоты их построения. Но если ЛАЧХ используется асимптотическая, то расчеты будут достаточно грубыми.

Неохват АФЧХ точки (1, j0) имеет место, если при частоте, на которой , абсолютное значение фазы меньше .

Но значение А=1 соответствует G=20lgA=0.

Поэтому для устойчивости замкнутой САУ необходимо, чтобы ЛАЧХ разомкнутой цепи пересекла ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно перейдет за значение - .

На рис.3.11 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ, соответствующие устойчивости некоторой САУ.

G

0 lg





Рис.3.11

Критерий Найквиста позволяет оценить устойчивость САУ, содержащих звенья с запаздыванием.

Пусть звено с запаздыванием с передаточной функцией (при единичном коэффициенте передачи) включено последовательно с системой без запаздывания с передаточной функцией .

Результирующие передаточная и комплексная частотная функции разомкнутой цепи будут:

где

С учетом последнего

Видно, что звено с запаздыванием лишь вносит дополнительный сдвиг. При этом изменяется АФЧХ, т.е. меняются условия устойчивости (характеристика “закручивается” по часовой стрелке). При некотором  САУ станет неустойчивой.

По АФЧХ системы без запаздывания можно определить критическое (предельное) значение запаздывания , что поясняется построением на рис.3.12.

jQ

1 p

Рис.3.12

Определяется точка, для которой Частота, соответствующая этой точке - , а фаза - .

При введении запаздывания условие совпадения этой точки с точкой (1, j0) запишется

откуда

Физический смысл критерия Найквиста заключается в том, что при увеличении частоты входного воздействия сигнал, проходящий по цепи обратной связи, оказывается в противофазе с входным. А это равносильно замене отрицательной обратной связи на положительную. Если же при этой частоте разомкнутый контур обладает усилением (т.е. k>1), то замкнутая САУ становится неустойчивой (любое увеличение сигнала на выходе приводит к увеличению сигнала на входе по цепи обратной связи, что вызывает дальнейший рост выходного сигнала и т.д.).

Для аналитических расчетов с помощью критерия Найквиста условия нахождения системы на границе устойчивости можно записать в двух формах:

а) используя вещественную и мнимую частотные функции разомкнутой цепи

(3.8)

б) используя амплитудную и фазовую частотные характеристики разомкнутой цепи

(3.9)

Аналитические расчеты существенно упрощаются в частном случае, когда в числителе присутствует только коэффициент передачи k, как, например, в структуре на рис.3.3. При этом комплексную частотную функцию можно записать

=

где и - соответственно действительная и мнимая части знаменателя .

Но в том случае, если , значит

Тогда условия нахождения САУ на границе устойчивости (3.8) преобразуются к виду

или (3.10)

Определим, воспользовавшись условием (3.10), значение для структуры на рис.3.3.

Из второго уравнения выразим (корень отбросим, т.к. по критерию Найквиста АФЧХ должна проходить через характерную точку при) и подставим в первое уравнение:

Такой же результат был получен ранее по критериям Гурвица и Михайлова.

Пример 3.5.

Решить задачу примера 3.1 с использованием критерия Найквиста.

Рассчитаем , воспользовавшись условием (3.8).

Ответ тот же, что и в примерах 3.1 и 3.2.

3.5. Понятие запаса устойчивости

При оценке устойчивости САУ одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить величину запаса устойчивости, т.е. степени удаленности системы от границы устойчивости.

Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия Найквиста две величины - запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде , которые показаны на рис.3.13.

G()

0 _ср lg

G



() 

Рис.3.13

Запас устойчивости по фазе определяется величиной , на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе с частотой среза _ср, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной G допустимого подъема ЛАЧХ, при котором система окажется на границе устойчивости. Таким образом, запас по амплитуде представляет собой запас по коэффициенту передачи разомкнутой цепи по отношению к его граничному по устойчивости значению:

(3.11)

Для вычисления запаса устойчивости по амплитуде необходимо по любому из критериев устойчивости определить и воспользоваться далее формулой (3.11).

При вычислении запаса устойчивости по фазе нужно вначале определить частоту среза из уравнения и затем найти . Запас устойчивости по фазе будет равен

(3.12)

При наличии частотных характеристик запасы устойчивости отсчитываются прямо с графиков, например, как показано на рис. 3.13. Помимо логарифмических характеристик, с этой же целью можно использовать и АФЧХ (разомкнутой цепи), что проиллюстрировано на рис.3.14.

Для определения запаса устойчивости по фазе нужно провести луч из начала координат через точку АФЧХ, для которой выполняется условие . Для нахождения этой точки графически следует из начала координат провести окружность радиусом R=1. Угол между этим лучом и отрицательной действительной полуосью и будет .

Запас устойчивости по амплитуде характеризует удаленность точки АФЧХ от границы устойчивости, т.е. от точки с координатами  1, j0 ( - это частота, при которой фаза составляет значение минус ), выраженную в логарифмических единицах. Следовательно,

jQ()

A(₀)



1 0 P()

Рис.3.14