2.8. Соединения некоторых типовых звеньев
Некоторые элементарные физически реализуемые объекты математически описываются как последовательное соединение нескольких типовых динамических звеньев, в том числе и идеальных.
Например, схема на рис.2.4 представляет из себя последовательное соединение идеального форсирующего и апериодического звеньев.
Построим
асимптотическую ЛАЧХ для этой схемы
при
кОм, С=1 мкФ.
Параметры передаточной функции:
c;
c.
Параметры асимптотической ЛАЧХ:
По рассчитанным параметрам строим ЛАЧХ, как показано на рис.2.21.
0
3,0 3,3 lg
2
+20дБ/дек
4
Рис.2.21
Другой аналогичный пример - схема на рис.2.22.
С
R
Рис.2.22
Выведем для приведенной схемы передаточную функцию:
где
Из полученной передаточной функции можно видеть, что рассматриваемая схема представляет из себя последовательное соединение идеального дифференцирующего и апериодического звеньев.
Построим асимптотическую ЛАЧХ для этой схемы при R=1 кОм, С=1 мкФ.
Параметры передаточной функции:
c.
Параметры асимптотической ЛАЧХ:
При построении
ЛАЧХ откладываем точку с координатами
и проводим через нее прямую с наклоном
плюс 20 дБ/дек до сопрягающей частоты.
После сопрягающей частоты наклон ЛАЧХ
изменяется на минус 20дБ/дек, т.е. вторая
асимптота идет горизонтально.
Характеристика представлена на рис.2.23.
0
1 2 3 lg
20
+20дБ/дек
40
60
Рис.2.23
Рассмотренные здесь схемы зачастую называют инерционным форсирующим и инерционным дифференцирующим звеньями (или реальными форсирующим и дифференцирующим звеньями).
3. Устойчивость
3.1. Понятие устойчивости линейных непрерывных сау
Система называется устойчивой, если:
1) после снятия воздействия по окончании переходного процесса система возвращается в исходное равновесное состояние;
2) после изменения воздействия на постоянную величину по окончании переходного процесса система приходит в новое равновесное состояние.
Определим условия устойчивости.
Выходная и входная величины в системе связаны с помощью дифференциального уравнения. Решение этого дифференциального уравнения при заданном значении входной величины представляет собой закон изменения выходной величины во времени. Но это решение состоит из двух составляющих:
где 
- вынужденная составляющая, однозначно
связанная с изменением входной величины.
Она определяется как частное решение
неоднородного дифференциального
уравнения с правой частью;
- свободная
составляющая, изменяющаяся во времени
в течение переходного процесса.
Именно свободная составляющая и определяет переходной процесс в системе. Определяется она общим решением однородного дифференциального уравнения
в виде суммы составляющих
где
-
постоянные интегрирования, определяющиеся
начальными условиями;
-
корни характеристического уравнения.
Характеристическое уравнение составляется на основании исходного дифференциального уравнения:
В общем случае корни являются комплексными. При этом они образуют пары сопряженных корней:
где
может быть положительной или отрицательной
величиной.
При этом, если
,
эта составляющая будет затухать.
Наоборот, при
получатся расходящиеся колебания.
Отсюда следует, что общим условием затухания всех составляющих, а значит, и всего переходного процесса в целом является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения системы.
Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, он даст расходящуюся составляющую переходного процесса и система будет неустойчивой.
Изображая корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости, как показано на рис.3.1, условие устойчивости можно сформулировать еще так: условием устойчивости САУ является расположение всех корней характеристического уравнения в левой комплексной полуплоскости.
0
Рис.3.1
Мнимая ось плоскости корней служит границей устойчивости. При этом можно выделить три случая выхода САУ на границу устойчивости, которые характеризуются соответственно:
1) нулевым корнем
2) парой чисто
мнимых корней
3) бесконечно
удаленным корнем
Бесконечность на комплексной плоскости рассматривается как бесконечно удаленная точка, противоположная нулевой. Поэтому она тоже является границей между правой и левой полуплоскостями.
Вычисление корней весьма просто лишь для характеристического уравнения первой и второй степени. Но ведь для определения устойчивости не нужно знать абсолютное значение корней, необходимо знать лишь, в какой полуплоскости они находятся. Поэтому важное значение приобретают правила, позволяющие определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости.
К основным критериям устойчивости относятся алгебраический критерий Гурвица и частотные критерии Михайлова и Найквиста.