- •Б.И. Коновалов
- •Cодержание
- •1. Введение
- •1.1. Предмет дисциплины и историческая справка
- •1.2. Классификация сау
- •2. Математическое описание линейных непрерывных сау
- •2.1. Передаточная функция
- •2.2. Частотные характеристики
- •2.3. Временные функции и характеристики
- •2.4. Структурные схемы и их преобразование
- •2.5. Типовые звенья и их характеристики
- •2.6. Минимально- и неминимально-фазовые звенья
- •2.7. Частотные характеристики разомкнутых систем
- •2.8. Соединения некоторых типовых звеньев
- •3. Устойчивость
- •3.1. Понятие устойчивости линейных непрерывных сау
- •3.2. Критерий устойчивости Гурвица
- •3.3. Критерий устойчивости Михайлова
- •3.4. Критерий устойчивости Найквиста
- •3.5. Понятие запаса устойчивости
- •4. Оценка качества управления. Стабилизация и коррекция
- •4.1. Показатели качества
- •4.2. Критерии качества переходного процесса
- •4.3. Последовательная коррекция динамических свойств
- •4.4. Параллельная коррекция
- •5. Рекомендуемая литература
3.2. Критерий устойчивости Гурвица
По этому критерию условия устойчивости сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы. Пусть характеристический полином САУ будет (характеристический полином определяет левую часть уравнения САУ, т.е. знаменатель передаточной функции):
Пологая (еслиотрицательно, то это условие можно выполнить, умножив весь полином на минус единицу), составляется из коэффициентовопределитель Гурвица:
В первой строке пишутся коэффициенты с условно нечетными индексами (т.е. коэффициенты с индексами n минус нечетное число, где n - порядок характеристического полинома), во второй - с условно четными (т.е. n минус четное число). Концы строк заполняются нулями так, чтобы матрица имела n столбцов. Третья и четвертая строки получаются сдвигом первых двух на одно место вправо и т.д. (всего строк - n).
Условия устойчивости заключаются в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров. Из этого правила можно вывести более удобное для практического применения: САУ устойчива, если положительны все коэффициенты характеристического полинома и предпоследний диагональный минор определителя Гурвица (справедливо для систем не выше четвертого порядка).
Выведем выражение для расчета предпоследнего диагонального минора систем третьего и четвертого порядка.
Для систем третьего порядка (n=3):
(3.1)
Для систем четвертого порядка (n=4):
(3.2)
Перед дальнейшим изложением материала уточним терминологию и покажем, как без излишних вычислений составляется характеристический полином замкнутой САУ по заданной структурной схеме. Для пояснений воспользуемся схемой на рис.3.2.
Рис.3.2
Пусть передаточная функция разомкнутой системы и цепи обратной связибудут:
Последовательное соединение элементов с передаточными функциями идаст разомкнутую цепь звеньев замкнутой САУ с передаточной функцией, которую будем называть передаточной функцией разомкнутой цепи:
Через принятые обозначения определим передаточную функцию замкнутой САУ:
Отсюда характеристический полином замкнутой САУ будет:
(3.3)
То есть, характеристический полином замкнутой САУ равен сумме числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой цепи.
В качестве примера рассмотрим САУ со структурной схемой, приведенной на рис.3.3, для которой необходимо определить соотношение параметров, обеспечивающих устойчивость.
Рис.3.3
Составим характеристический полином замкнутой САУ в соответствии с (3.3):
(3.4)
Запишем характеристический полином в общем виде:
где
Условия устойчивости сводятся к следующим неравенствам:
Первые три неравенства интереса не представляют, если мы ограничиваем рассмотрение положительными значениями постоянных времени. Четвертое неравенство показывает лишь, что в случае ошибки и включения вместо отрицательной связи положительной система станет неустойчивой.
Реальные ограничения на значения параметров системы накладывает последнее неравенство. Его удобнее записать в другом виде, поделив левую часть на :
Это неравенство показывает, что устойчивость САУ в конце концов нарушится при неограниченном увеличении коэффициента передачи k при любых значениях постоянных времени.
Предельное по величине значение k, при котором САУ теряет устойчивость, принято называть критическим (или граничным). Для рассматриваемого примера:
(3.5)
Значение граничного коэффициента передачи зависит не от абсолютных значений постоянных времени, а от их отношения.
Для рассмотренной здесь структуры при равенстве всех постоянных времени, преобразовав соотношение (3.5) к виду
легко определить, что =8. Для данной структуры найденное значениеявляется минимальным. Чем больше будут различаться постоянные времени, тем больше будет величина.
С помощью критериев устойчивости можно строить области устойчивости.
При проектировании САУ ряд параметров и звеньев являются заданными, так как они определяются требованиями технологического процесса и конструктивными особенностями объекта регулирования. В то же время имеется несколько параметров, которые можно менять в определенных пределах. Для определения влияния значений каких-либо варьируемых параметров на устойчивость строят области устойчивости системы в пространстве этих варьируемых параметров.
Уравнения границ области устойчивости получаются из условий устойчивости, если заменить в них неравенства на равенства (это соответствует нахождению системы на границе устойчивости).
В общем случае границы области устойчивости по критерию Гурвица строятся по следующим уравнениям:
Первое уравнение соответствует наличию у характеристического уравнения пары сопряженных мнимых корней, второе равенство соответствует наличию нулевого корня, а третье - наличию бесконечного корня.
Для САУ, уже рассмотренной выше (см. рис.3.3), зададим варьируемыми параметрами общий коэффициент передачи разомкнутой цепи k и постоянную времени . Уравнениями для построения границ области устойчивости будут:
Границы области устойчивости изображены на рис.3.4. Около границ принято наносить штриховку в сторону области устойчивости.
Каждая точка внутри области устойчивости определяет комбинацию варьируемых параметров k и , при которых система устойчива. Причем, если система в пространстве всех своих параметров не имеет области устойчивости, она называется структурно неустойчивой. Для получения устойчивости в этом случае необходимо изменить структуру.
Область
устойчивости
1 k
Рис.3.4
Пример 3.1.
Определить устойчивость САУ, структурная схема которой приведена на рис.3.5, воспользовавшись критерием устойчивости Гурвица.
0,5
Рис.3.5
Для установления устойчивости определим граничное значение коэффициента передачи и сравним его с имеющимся значением коэффициента.
Передаточная функция разомкнутой цепи
В соответствии с (3.3) характеристический полином замкнутой системы
где
Так как система имеет третий порядок, то она будет находится на границе устойчивости при равенстве нулю выражения (3.1):
Отсюда находим
Коэффициент передачи разомкнутой цепи k=8,4 меньше, чем Следовательно, система в замкнутом состоянии устойчива.