3.5. Понятие запаса устойчивости

При оценке устойчивости САУ одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить величину запаса устойчивости, т.е. степени удаленности системы от границы устойчивости.

Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия Найквиста две величины - запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде, которые показаны на рис.3.13.

G()

0 _ср lg

G



() 

Рис.3.13

Запас устойчивости по фазе определяется величиной , на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе с частотой среза _ср, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной G допустимого подъема ЛАЧХ, при котором система окажется на границе устойчивости. Таким образом, запас по амплитуде представляет собой запас по коэффициенту передачи разомкнутой цепи по отношению к его граничному по устойчивости значению:

(3.11)

Для вычисления запаса устойчивости по амплитуде необходимо по любому из критериев устойчивости определитьи воспользоваться далее формулой (3.11).

При вычислении запаса устойчивости по фазе нужно вначале определить частоту среза из уравнения и затем найти. Запас устойчивости по фазе будет равен

(3.12)

При наличии частотных характеристик запасы устойчивости отсчитываются прямо с графиков, например, как показано на рис. 3.13. Помимо логарифмических характеристик, с этой же целью можно использовать и АФЧХ (разомкнутой цепи), что проиллюстрировано на рис.3.14.

Для определения запаса устойчивости по фазе нужно провести луч из начала координат через точку АФЧХ, для которой выполняется условие . Для нахождения этой точки графически следует из начала координат провести окружность радиусом R=1. Угол между этим лучом и отрицательной действительной полуосью и будет.

Запас устойчивости по амплитуде характеризует удаленность точки АФЧХ от границы устойчивости, т.е. от точки с координатами 1, j0 (- это частота, при которой фаза составляет значение минус), выраженную в логарифмических единицах. Следовательно,

jQ()

A(₀)



1 0 P()

Рис.3.14

4. Оценка качества управления. Стабилизация и коррекция

4.1. Показатели качества

Как всякая динамическая система, САУ может находиться в одном из двух режимов - стационарном (установившемся) и переходном. Стационарный режим может быть двух типов: статический и динамический. Ограничимся здесь рассмотрением лишь статического режима.

В статическом режиме, при котором все внешние воздействия и параметры системы не меняются, качество управления характеризуется точностью.

Рассмотрим САУ с двумя воздействиями: задающим и возмущающим. Структурная схема такой САУ приведена на рис.4.1, где обозначено: 1 - участок системы от входа до точки приложения возмущения; 2 - участок системы от точки приложения возмущения до выхода с передаточной функцией; 3 - цепь обратной связи.

1 2

3

Рис.4.1

В операторной форме САУ описывается уравнением динамики:

где - передаточная функция разомкнутой САУ,

- передаточная функция разомкнутой цепи.

Уравнение статики получается из уравнения динамики при подстановке в последнее р=0, что соответствует постоянству всех переменных, то есть равенству нулю их производных.

В рассматриваемом примере уравнение статики принимает вид:

Вид изависит от того, содержатся ли в системе интегрирующие звенья или нет. Рассмотрим вначале случай, когда интегрирующие звенья отсутствуют (такие САУ называютсястатическими).

В случае статической системы итак как знаменатели передаточных функций всех звеньев, входящих сомножителями в выраженияипри р=0 обращаются в единицу.

В результате получим:

(4.1)

Статическая характеристика неоднозначна из-за наличия возмущения f. Статическая ошибкапри неизменном задающем воздействии определяется выражением:

Для разомкнутой САУ уравнение статики будет иметь вид

а статическая ошибка относительно замкнутой системы увеличивается в (1+k) раз:

График зависимости выходной величины САУ от возмущения обычно называется внешней характеристикой, которая в общем виде представлена на рис.4.2.

0 1_max f

Рис.4.2

В различных областях техники точность в установившемся режиме принято характеризовать величиной отклонения выходной координаты в полном диапазоне изменения возмущающего воздействия в следующем виде:

1) абсолютной величиной отклонения. Например: .

Под номинальным значением понимается усредненное значение выходной величины;

2) относительной величиной отклонения, выраженной в процентах. Например:

(4.2)

3) статизмом внешней характеристики S, определяемым выражением

Наличие статической ошибки в общем случае является нежелательным, так как создается погрешность управления. Но для полного устранения статического отклонения требуется до бесконечности увеличивать коэффициент передачи k, что нереализуемо по ряду причин (например, по условию обеспечения устойчивости). Таким образом, в статической САУ принципиально нельзя полностью устранить статическую ошибку.

Но вместе с тем имеется путь устранения статической ошибки при конечной величине коэффициента передачи.

Введем в рассмотренную статическую САУ интегрирующее звено, причем так, чтобы оно находилось на участке 1 структурной схемы (см. рис.4.1), т.е. между точками приложения задающего и возмущающего воздействий. Теперь САУ будет описываться уравнением динамики

Подставив в это выражение значение р=0, получим уравнение статистики:

Отсюда следует, что при включении интегрирующего звена в оговоренный выше участок системы удалось полностью ликвидировать статическую ошибку, то есть получить S=0.

САУ, в которых при стремлении возмущающего воздействия к постоянной величине, отклонение выходной величины стремится к нулю и не зависит от величины приложенного воздействия, называются астатическими.

Если интегрирующее звено включить не в оговоренный выше участок структуры, а, например, в цепь обратной связи, то получим

и уравнение статики

Практический смысл такая система потеряла.

В другом случае, если интегрирующее звено включить на участке 3 структуры (т.е. после точки приложения возмущения), действуя аналогично, выведем:

То есть система не является астатической.

Для характеристики переходного режима наибольшее распространение имеют следующие показатели качества: время переходного процесса, перерегулирование, колебательность.

Время переходного процесса характеризует быстродействие системы. Определяется как интервал времени от начала переходного процесса до момента, когда отклонение выходной величины от ее нового установившегося значения становится меньше определенной достаточно малой величины. Обычно это пять процентов.

Перерегулированием  называется максимальное отклонение выходной величины на интервале переходного процесса от установившегося после окончания переходного процесса значения, выраженное в процентах:

Колебательность характеризуется обычно числом колебаний переходной характеристики за время переходного процесса. В зависимости от характера затухания различают следующие типы переходных характеристик: монотонная (нет ни одного колебания); апериодическая (не более одного колебания); колебательная (несколько колебаний).

Пример 4.1.

Рассчитать статическую точность системы стабилизации выходного напряжения генератора постоянного тока (см. рис.1.3) при следующих значениях параметров и воздействий: А/В;В/А;;Ом;В;А.

Прежде всего, необходимо составить уравнение статики рассматриваемой системы. Не зная передаточных функций отдельных элементов и системы в целом, составим математическое описание для установившегося режима на основе статических характеристик отдельных элементов (примем допущение, что все элементы имеют линейные статические характеристики).

В разомкнутой системе (см. рис.1.2), как было выведено в подразделе 1.2,

(а)

Э.д.с. генератора пропорциональна току возбуждения, т.е. , где- коэффициент пропорциональности, зависящий от материала магнитопровода генератора, конструктивных особенностей генератора и т.д.

Ток возбуждения, в свою очередь, пропорционален входному сигналу усилителя У, т.е. , где- коэффициент передачи функционального усилителя У.

С учетом этого соотношение (а) можно записать в следующем виде:

(б)

Уравнению (б) соответствует структурная схема, представленная на рис.4.3.

Рис.4.3

В замкнутой схеме (см. рис.1.3) часть выходного напряжения сравнивается с задающим и разность этих напряжений подается на вход усилителя У, в соответствии с чем можно записать

(в)

где - коэффициент передачи делителя.

С учетом формулы (в) на основе структурной схемы разомкнутой системы составим структурную схему замкнутой системы, как показано на рис.4.4.

Рис.4.4

С учетом правил преобразования структурных схем для схемы на рис. 4.4 получим уравнение:

(г)

Уравнение статики (г), как видим, полностью соответствует обобщенному уравнению (4.1), отличаясь лишь обозначениями.

Подставим в уравнение (г) заданные значения величин и определим максимальное и минимальноезначение выходного напряжения, соответствующие соответственно минимальному (А) и максимальному (А) токам нагрузки:

В;

В.

Представим выходное напряжение в форме (4.2):

В;

В;

Таким образом, при изменении в оговоренном диапазоне возмущающего воздействия (тока нагрузки) отклонение выходного напряжения не превысит величины 1,84% от номинального значения.